[論文レビュー] Existence and Uniqueness of Boundary Value Problems for Hilfer-Hadamard-Type Fractional Differential Equations

Ahmad Y. A. Salamooni, D. D. Pawar|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2018

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、Banach空間における不動点定理を用いて、1 < α ≤ 2 の階数および β ∈ [0,1] のタイプを有するHilfer-Hadamard型分数階微分方程式の境界値問題に対する解の存在および一意性を確立する。主な貢献は、Schauderの定理およびKrasnoselskiiの定理を用いた存在の証明、およびLipschitz条件のもとで収縮定数 C = 1/16 による一意性の確立であり、CΦ < 1 を満たす数値例で検証されている。解析は、対数核を有するHadamard型分数積分とその性質に依拠している。

ABSTRACT

In this paper, we used some theorems of fixed point for studying the results of Existence and Uniqueness For Hilfer-Hadamard-Type Fractional Differential Equations, \[_{H}D^{α,β}x(t)+f(t,x(t))=0, ~~~~~~ on~~the~~ interval~~ J:=(1,e]\] with Boundary Value Problems \[x(1+ε)=0,~~~~~~~~~~_{H}D^{1,1}x(e)=ν~_{H}D^{1,1}x(ζ)\]

研究の動機と目的

• Hilfer-Hadamard型分数階微分方程式を含む境界値問題（BVP）に対する解の存在および一意性を調査すること。
• Hilfer-Hadamard微分を組み込むことで、分数階微分方程式の理論を拡張し、Hadamard微分およびCaputo-Hadamard微分を一般化すること。
• 固定点理論を用いて、このようなBVPが少なくとも1つの解をもつ、または一意解をもつための十分条件を確立すること。
• $(1,e]$ 上の非局所境界条件（$\nu$-重み付き微分が $e$ および $\zeta$ で定義される）を有するHilfer-Hadamard型分数階BVPの厳密な解析的枠組みを構築すること。
• 理論的結果を具体的な例で検証し、C = 1/16 のLipschitz条件のもとでの一意性を示す。

提案手法

• 研究は、$(1,e]$ 上の連続関数のBanach空間において、BVPに関連する作用素を解析するために、Schauderの定理およびKrasnoselskiiの定理を用いる不動点定理を採用する。
• Hilfer-Hadamard分数階微分 $ {}_{H}D^{\alpha,\beta} $ は、Hadamard分数階積分および微分の合成として定義され、$ \gamma = \alpha + \beta - \alpha\beta $、$ \delta = t \frac{d}{dt} $ を満たす。
• BVPは、対数核 $ (\log(t/\tau))^{\alpha-1} $ を有するHadamard型積分を用いて構成された積分作用素 $ \rho $ の不動点問題に変換される。
• 作用素 $ \rho $ が有界集合を自身に写し、完全連続であることを示すことで、解の存在が証明される。これは、ガンマ関数および対数ノルムを用いた推定に依拠する。
• 一意性は、Banachの収縮写像の原理により確立され、非線形関数 $ f(t,x) $ のLipschitz定数 $ C $ が $ C\Phi < 1 $ を満たす必要がある。ここで $ \Phi $ は積分作用素のノルムである。
• 数値例として、$ \alpha = 3/2 $、$ \beta = 1/2 $、$ \nu = 1/2 $、$ \zeta = 3/2 $、$ f(t,x) = \frac{1}{32}(\sqrt{t} + \log t)\left(\frac{|x|}{2 + |x|}\right) $ を用い、$ C = 1/16 $、$ C\Phi \approx 0.0876 < 1 $ が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hilfer-Hadamard型分数階微分方程式 $ {}_{H}D^{\alpha,\beta}x(t) + f(t,x(t)) = 0 $ が $ (1,e] $ 上で少なくとも1つの解をもつための条件は何か？
• RQ2 このクラスのBVPに対して解の一意性を保証する条件は何か？
• RQ3 境界条件 $ x(1+\epsilon) = 0 $ および $ {}_{H}D^{1,1}x(e) = \nu {}_{H}D^{1,1}x(\zeta) $ は解の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 パラメータ $ \nu \in [0,1) $ は非局所境界条件の性質にどのように寄与するか？
• RQ5 理論的結果は、収縮定数および作用素ノルムの明示的計算を伴う具体的な例によって検証可能か？

主な発見

• Schauderの不動点定理を用いて、作用素 $ \rho $ が完全連続であり、有界集合を自身に写すことを示すことにより、$(1,e]$ 上に少なくとも1つの解が存在することが証明された。
• 非線形関数 $ f(t,x) $ がLipschitz条件を満たし、定数 $ C = 1/16 $ であり、積 $ C\Phi < 1 $（$ \Phi \approx 1.404 $、$ C\Phi \approx 0.0876 $）を満たす場合、一意解が存在する。
• 解のノルムがガンマ関数および対数項を含む積分推定に基づき導かれる定数 $ M $ で有界であるという仮定のもとで、存在結果が確立された。
• 例における非線形関数 $ f(t,x) = \frac{1}{32}(\sqrt{t} + \log t)\left(\frac{|x|}{2 + |x|}\right) $ は、$ |f(t,x) - f(t,y)| \leq \frac{1}{16}|x - y| $ を満たし、$ C = 1/16 $ を確認した。
• 例は、収縮条件 $ C\Phi < 1 $ が満たされることを示し、一意性にBanachの収縮写像の原理が適用可能であることを確認した。
• 解析は、Hilfer-Hadamard微分の枠組みが、非局所条件を有する適切に定式化されたBVPを支持できることを確認した。これは、対数核設定における古典的分数階微分積分学の結果を拡張するものである。