[論文レビュー] Existence and uniqueness of invariant measures for non-Feller Markov semigroups

Jean-Gabriel Attali|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2026

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ひとこと要約

論文は、Feller 正規性なしの連続時間マルコフ半群に対して不変確率測度の存在と一意性を証明する。存在には準Feller正規性を、唯一性には psi-不可約性の下でのレゾルベント支配を用いる。

ABSTRACT

We study existence and uniqueness of invariant probability measures for continuous-time Markov processes on general state spaces. Existence is obtained from tightness of time averages under a weak regularity assumption inspired by quasi-Feller semigroups, allowing for discontinuous and non-Feller dynamics. Our main contribution concerns uniqueness. Under a natural $ψ$-irreducibility assumption, we show that the normalized resolvent kernel satisfies a domination property with respect to a reference measure. As a consequence, every invariant probability measure charges this reference measure. Since distinct ergodic invariant measures are mutually singular on standard Borel spaces, this domination property implies uniqueness whenever an invariant probability measure exists. The argument is purely measure-theoretic and does not rely on Harris recurrence, return-time estimates, or Foster--Lyapunov conditions, and applies in particular to jump processes and hybrid models with discontinuous dynamics.

研究の動機と目的

• 一般の状態空間上の連続時間マルコフ過程の不変測度の研究を喚起すること（非Feller ダイナミクスを含む）。
• 準Feller正規性と時間平均のタイト性の下で不変測度の存在を確立すること。
• 不可約性の下でのレゾルベント支配に基づく構造的、測度論的な一意性基準を開発すること。
• 跳躍過程、ハイブリッドモデル、および不連続なダイナミクスを持つ系への適用性を示すこと。）
• method(日本語訳不可のため、英語原文をそのまま表記します)
• - Use time-average tightness to guarantee existence of invariant measures under quasi-Feller factorization.
• - Employ a quasi-Feller factorization via a map H and a regularized kernel Q_t to handle discontinuities.
• - Show invisibility of the H-discontinuity set under weak limits of time averages (Proposition 2.3).
• - Introduce the normalized resolvent R_alpha and prove invariant measures for P_t coincide with those for R_alpha (Lemma 3.2).
• - Apply a domination criterion: if a sigma-finite measure is dominated by R_alpha(x,·) for all x, then it dominates any invariant measure (Proposition 3.4).
• - Leverage psi-irreducibility to obtain a common reference measure dominated by R_alpha, yielding uniqueness (Corollary 3.9).

提案手法

• 即時平均のタイトネスを用いて準Fellerfactorizationの下で不変測度の存在を保証する。
• Hという写像と正則化された核Q_tを介した準Feller因数分解を用いて不連続性を扱う。
• 時間平均の弱極限におけるH-不連続性集合の見えない性質を示す（命題 2.3）。
• 正規化されたレゾルベントR_alphaを導入し、P_t に対する不変測度が R_alpha に対する不変測度と一致することを証明する（補題 3.2）。
• 支配基準を適用する：任意の x に対して R_alpha(x,·) に支配される半有限測度が存在すれば、それは任意の不変測度を支配する（命題 3.4）。
• psi-不可約性を利用して R_alpha により支配される共通参照測度を得ることにより一意性を導く（系 Corollary 3.9）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非Feller な連続時間マルコフ半群に対して、不変測度の存在を保証する構造的条件は何か。
• RQ2 存在が確立した後に Harris 遷移性や Foster–Lyapunov 条件なしで不可幾性だけから一意性を推論できるか。
• RQ3 正規化されたレゾルベントは複数の不変測度の共存を防ぐ普遍的な支配機構を提供するか。
• RQ4 準Feller フレームワークは拡張されたモデル群（拡散、跳躍、ハイブリッド）における不連続性の扱いをどう促進するか。

主な発見

• 準Feller正規性の下での時系列平均のタイトネスと不連続性の見えない性質から不変測度の存在が得られる。
• 存在が確立された後は不可約性の構造的な結果として不変測度の一意性が導かれ、レゾルベントの共通参照測度による支配により得られる。
• 正規化されたレゾルベントR_alpha は連続時間と離散時間の見方を結びつけ、不変性を保持する（P_t に対して不変 => R_alpha に対しても不変、かつその逆）。
• psi-不可約性と P_t の右連続性の下では単一の不変測度が存在し得る；異なるエルゴード測度は標準ボレル空間上で互いに特異であり、唯一性を強制する。
• このアプローチは拡散、縮退 Langevin 力学、跳躍過程、離散ダイナミクスを持つハイブリッドモデルなど、 Harris 循環性や Foster–Lyapunov 条件なしで適用可能である。