[論文レビュー] Existence and Uniqueness of Mild Solutions to Neutral SFDE driven by a Fractional Brownian Motion with non-Lipschitz Coefficients

Salah Hajji, El Hassan Lakhel|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、係数にリプシッツでない条件が課されたヒルベルト空間における分数 Browndian 動きによって駆動される中立型確率的関数微分方程式（NSFDEs）の弱解の存在および一意性を確立する。著者らは、ピカード型反復近似法を用い、分数階微積分および確率解析の技術を組み合わせることで、従来のリプシッツ連続性を要件としていた結果を一般化し、漂移項および拡散項の正則性が弱い場合の弱解理論の適用範囲を拡大する。

ABSTRACT

The article presents results on existence and uniqueness of mild solutions to a class of non linear neutral stochastic functional differential equations (NSFDEs) driven by Fractional Brownian motion in a Hilbert space with non-Lipschitzian coefficients. The results are obtained by using the method of Picard approximation.

研究の動機と目的

• 中立型確率的関数微分方程式（NSFDEs）の弱解の存在および一意性理論を、古典的なリプシッツ条件を越えて展開すること。
• 長-range 依存性を有する確率的システムのモデル化の挑戦に応えるために、分数 Browndian 動きを駆動ノイズとして用いること。
• 文献[4]における先行結果を、非線形項にリプシッツ条件を弱める一般的な条件に置き換えることによって一般化すること。
• 状態の現在値、過去値、および遅延を伴う状態の微分に依存する動的システムに対する、ヒルベルト空間上での NSFDEs の適切な定式化を確立すること。

提案手法

• 著者らは、真の解に収束する弱解の列を構成するため、ピカード型反復近似スキームを用いる。
• 無限小作用素 A が生成する半群を用いた変数定数の公式を介して、弱解を定義する。
• 解析は、閉作用素の分数階冪および分数 Browndian 動きのウィener 積分表現に依存する。
• 再帰的ヒルベルト空間に関する分数ウィener積分の等長性と核表現を用いて、確率的推定を導出する。
• 収束性は、比較補題および凹関数を含む一般化されたグロンウォール型不等式を用いて証明される。
• 収束性の証明には、逆積分が発散する凹かつ非減少関数 λ を用いた非リプシッツ条件が組み込まれている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数 Browndian 動きによって駆動される中立型 SFDEs に対して、非線形係数にどのような条件下で弱解が存在するか。
• RQ2 古典的なリプシッツ条件を、存在および一意性を保ちつつより弱い非リプシッツ条件に緩和することは可能か。
• RQ3 Hurst パrameter H ∈ (1/2, 1) を有する分数 Browndian 動きを用いることで、解過程の正則性および収束性にどのような影響を与えるか。
• RQ4 非リプシッツ仮定の下で、ピカード反復が存在および一意性の証明に果たす役割は何か。
• RQ5 凹関数を含む一般化されたグロンウォール不等式を用いて、反復スキームの収束性を確立できるか。

主な発見

• 弱解の存在および一意性は、古典的なリプシッツ仮定を一般化する非リプシッツ条件の下で確立された。
• 解は、[−r, T] 上の二階可積分性を持つ確率過程の空間におけるピカード反復列の収束によって得られる。
• 収束性は、∫₀⁺ dx/λ(x) = ∞ を満たす凹関数 λ を含む一般化されたグロンウォール不等式を用いて証明された。
• 本手法により、‖f(t,x)−f(t,y)‖² ≤ α(t)λ(‖x−y‖²) を満たす係数が許容され、ここで λ は凹かつ非減少、λ(0)=0、かつ ∫₀⁺ dx/λ(x) = ∞ を満たす。
• λ(u) = Lu のとき、古典的リプシッツケースが特殊な場合として含まれる。
• 具体的な許容可能な λ 関数の例として、λ₁(u) = Lu および u > 0 が小さいときの λ₂(u) = ulog(u⁻¹) が提示された。