[論文レビュー] Existence and Uniqueness of Orbital Measures

Michael F. Barnsley|ArXiv.org|Jul 30, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、反復関数系（IFS）から導かれる加重付き押し出し作用素と凝縮測度の凸結合を含む線形測度方程式の解の存在および一意性について、初等的な証明を提示する。解は、軌道測度と呼ばれるもので、IFS写像のすべての有限合成の無限級数として構成され、空間の位相的・確率的条件がやや弱い場合でも絶対収束する。収縮性や空間の完備性の仮定は不要である。

ABSTRACT

We note an elementary proof of the existence and uniqueness of a solution $% μ\in \mathbb{P(X)}$ to the equation $μ=pμ_{0}+q\hat{F}μ$. Here $\mathbb{X}$ is a topological space, $\mathbb{P(X)}$ is the set of Borel measures of unit mass on $\mathbb{X}$, $μ_{0}\in $ $\mathbb{P(X)}$ is given, $p>0$, and $q\geq 0$ with $p+q=1$. The transformation $\hat{F}:% \mathbb{P(X) o P(X)}$ is defined by $\hat{F}\upsilon = sum\limits_{n=1}^{N}p_{n}\upsilon \circ f_{n}^{-1}$ where $f_{n}:\mathbb{% X o X}$ is continuous, $p_{n}>0$ for $n=1,2,...,N$, $N$ is a finite strictly positive integer, and $ sum\limits_{n=1}^{N}p_{n}=1$. This problem occurs in connection with iterated function systems (IFS).

研究の動機と目的

• 測度空間 X 上の Borel 確率測度 μ ∈ P(X) に対して、方程式 μ = pμ₀ + qF̂μ の解の存在および一意性を確立すること。ここで F̂ は Borel 確率測度上の線形押し出し作用素である。
• 収縮写像の原理や完備性やコンパクト性といった強い位相的仮定に依存しない初等的証明を提供すること。
• 解を、IFS 写像のすべての有限合成に関する収束級数として特徴づけること。重みは確率 pn とパラメータ q によって決定される。
• 解が凝縮測度と IFS 作用素の組み合わせ作用に関して不変であること、すなわち「軌道測度」として定義されることを示すこと。

提案手法

• 解 μ は、μ = pμ₀ + ∑_{|σ|≥1} pq^{|σ|} p_σ₁⋯p_σ_{|σ|} (f_σ₁∘⋯∘f_σ_{|σ|})(μ₀) として明示的に構成される。ここで σ は {1,…,N}∗ 内のすべての有限非空文字列を走る。
• 級数の収束は、幾何級数 ∑_{n=0}^∞ pq^n = 1 との項別比較により確立され、Borel 集合上で絶対的かつ一様収束することが保証される。
• 異なる Borel 集合の和集合に関する級数の項の入れ替えを検証することで、μ が適切に定義された Borel 確率測度であることを確認する。
• 直接代入と級数項の再インデックス付けにより、解が固定点方程式 μ = pμ₀ + qF̂μ を満たすことが示される。
• 一意性は、別の解 ν が存在すると仮定し、反復的代入により同じ級数表現が得られることを示すことによって証明される。
• 作用素 F̂: P(X) → P(X) は F̂ν = ∑_{n=1}^N p_n ν∘f_n^{−1} で定義され、解は compact に μ = p(1 − qF̂)^{−1}μ₀ = ∑_{m=0}^∞ pq^m (F̂)^m μ₀ と表現できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間 X や写像 f_n に対して最小限の仮定のもとで、方程式 μ = pμ₀ + qF̂μ に対して μ ∈ P(X) の解が一意に存在するか？
• RQ2 収縮性の仮定なしに、IFS 写像のすべての有限合成に関する収束級数として解を明示的に構成できるか？
• RQ3 p → 0 の極限において軌道測度はどのように振る舞い、ν = F̂ν の解に収束するか？
• RQ4 X に収縮性や完備性が欠如している場合、一意な不変測度の存在が妨げられるか？
• RQ5 p → 0 の極限において、軌道測度が F̂ の不動点に収束しない条件は何か？

主な発見

• 解 μ は、すべての IFS 写像の有限合成に関する絶対収束級数として一意に定義され、重みは p q^{|σ|} p_σ₁⋯p_σ_{|σ|} で与えられる。
• μ は、可算加法性の検証と単位質量への正規化により、X 上の適切に定義された Borel 確率測度であることが確認された。
• 直接代入と級数項の再インデックス付けにより、解が固定点方程式 μ = pμ₀ + qF̂μ を満たすことが確認された。
• 一意性は、他の任意の解が同じ級数展開を生成しなければならないことから導かれるため、μ に等しい。
• p → 0 の極限において、lim_{p→0} μ([0,x]) = 0 がすべての x ∈ [0,1) に対して成り立つため、軌道測度は ν = F̂ν の解に収束しない。
• 区間 [0,1) を [0,1] に置き換えても、極限測度が退化したままであるため、不動点への収束は回復しない。