[論文レビュー] Existence and Uniqueness of Polynomial Preserving Diffusions

Damir Filipović, Martin Larsson|arXiv (Cornell University)|Apr 3, 2014

Stochastic processes and financial applications被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、モーメント決定性とパスワイズ一意性を用いて、半代数的状態空間上での多項式拡散過程の存在および一意性を確立する。存在の証明には、確率的不変性問題を解く手法を用い、金利、信用リスク、商品市場など、ファイナンス分野への応用が重要である。

ABSTRACT

This paper provides the mathematical foundation for polynomial diffusions. They play an important role in a growing range of applications in finance, including financial market models for interest rates, credit risk, stochastic volatility, commodities and electricity. Uniqueness of polynomial diffusions is established via moment determinacy in combination with pathwise uniqueness. Existence boils down to a stochastic invariance problem that we solve for semialgebraic state spaces. Examples include the unit ball, the product of the unit cube and nonnegative orthant, and the unit simplex.

研究の動機と目的

• 多項式拡散過程の金融モデリングにおける数学的基盤を確立すること。
• 半代数的状態空間上での多項式拡散過程の存在問題を、確率的不変性を用いて解決すること。
• モーメント決定性とパスワイズ一意性を組み合わせることで、全体の一意性を証明すること。
• 単位単体、単位球、および非負象限と単位立方体の積など、具体的な適用可能な状態空間の例を提示すること。

提案手法

• 多項式拡散過程の有限次元分布の一意性を確立するために、モーメント決定性を用いる。
• 同じ条件下でサンプルパスの一意性を保証するために、パスワイズ一意性を適用する。
• 拡散過程の存在問題を、不変性に関する確率的問題に還元する。
• 代数的および確率的技法を用いて、半代数的状態空間における確率的不変性問題を解く。
• 状態空間を半代数的と特定することで、多項式拡散過程の存在を保証する。
• 不変性と正則性の検証に、確率解析および実代数幾何学の道具を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた半代数的状態空間上での多項式拡散過程が、どのような条件下で存在するか？
• RQ2 多項式拡散過程の有限次元分布が、そのモーメントによって一意に決定されるのはいつか？
• RQ3 パスワイズ一意性とモーメント決定性をどのように組み合わせることで、全体の一意性を保証できるか？
• RQ4 どのクラスの状態空間が、確率的不変性を用いた多項式拡散過程の構成を可能にするか？
• RQ5 具体的な幾何的領域、例えば単位単体や単位球などは、多項式拡散過程を許容するか？

主な発見

• 多項式拡散過程は、単位球、単位単体、および非負象限と単位立方体の積を含む、半代数的状態空間上に存在する。
• モーメント決定性とパスワイズ一意性を用いて、多項式拡散過程の一意性が確立された。
• 多項式拡散過程の存在は、確率的不変性問題に帰着され、半代数的領域ではその問題が解決された。
• この枠組みは、金利のモデリング、信用リスク、スティルハスティック・ボラティリティの分野への応用を支援する。
• この結果は、高次元かつ制約付きの金融モデルにおける多項式拡散過程の使用に、厳密な基盤を提供する。
• この手法により、多項式拡散過程がほぼ確実に所定の状態空間内に留まることが保証され、モデルの妥当性が維持される。