[論文レビュー] Existence and uniqueness of solution of Cauchy-type problem for Hilfer fractional differential equations

D. B. Dhaigude, Sandeep P. Bhairat|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2017

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、ピカードの逐次近似法と一般化されたグロワンデルの不等式を用いて、ヒルファ分数階微分方程式を含むコーシー型問題の解の存在、一意性、連続的依存性を確立する。主な貢献は、解が分数階数および初期条件に対して連続的に依存することの証明であり、初期データまたは階数の摂動に対する明示的な境界がマイトガグ・レフラー関数を用いて与えられる。

ABSTRACT

The Cauchy-type problem for a nonlinear differential equation involving Hilfer fractional derivative is considered. We prove existence, uniqueness and continuous dependence of a solution for Cauchy-type problem using successive approximations and generalized Gronwall inequality.

研究の動機と目的

• 非線形ヒルファ分数階微分方程式とコーシー型初期条件を伴う解の存在および一意性を確立すること。
• 固定点法の限界を克服し、分数階数および初期条件に対する解の連続的依存性を分析すること。
• 抽象的固定点定理に代えてピカードの反復法を用いた構成的証明フレームワークを提供すること。
• マイトガグ・レフラー関数を用いて、初期データまたは階数の摂動による解の変動の明示的境界を導出すること。
• 分数階微積分に適した重み付き関数空間におけるコーシー問題の適切に定義された性質（well-posedness）を保証すること。

提案手法

• 解を逐次的に構成するため、重み付き空間 $ C_{1-\beta}[a,b] $ で収束を保証するピカードの逐次近似法を用いる。
• 近似解の差を制御し収束速度を制御するために、一般化されたグロワンデルの不等式を用いる。
• ヒルファ分数階微分 $ D_{a^{+}}^{eta,\beta} $ を、$ I_{a^{+}}^{\beta(1-\beta)} D_{a^{+}}^{\beta} $ として定義し、ここで $ \gamma = \alpha + \beta(1 - \alpha) $ である。
• 非線形項 $ f(x,y) $ のリプシッツ連続性を定数 $ A $ を用いて確立し、解の差の推定を可能にする。
• リーマン＝リウヴィル分数階積分 $ I_{a^{+}}^{\alpha} $ を含む解の積分表現を導出し、摂動境界にはマイトガグ・レフラー関数 $ E_{\alpha,\gamma}(z) $ を用いる。
• 解空間における収束を定義するため、距離 $ d(y_1,y_2) = \|y_1 - y_2\|_{C_{1-\gamma}[a,b]} = \max_{x\in[a,b]} |(x-a)^{1-\gamma}[y_1(x) - y_2(x)]| $ を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルファ分数階微分方程式のコーシー型問題は、有限区間上で一意な解をもつか。
• RQ2 初期値が $ \epsilon $ だけ摂動された場合、解は初期条件に対して連続的に依存するか。
• RQ3 分数階数 $ \alpha $ がわずかに変化した場合、解はどのように変化するか。
• RQ4 解は逐次近似によって明示的に構成可能であり、一様収束するか。
• RQ5 初期データまたは階数の小さな変化による解のずれの定量的境界は何か。

主な発見

• 非線形項 $ f(x,y) $ のリプシッツ連続性を仮定すれば、解は $[a,b]$ 上で存在し一意的である。
• 初期条件に対する解の連続的依存性が成立する：初期値が $ \epsilon $ だけ摂動された場合、解の差は $ |\epsilon|(x-a)^{\gamma-1} E_{\alpha,\gamma}(A(x-a)^\alpha) $ で有界であり、ここで $ \gamma = \alpha + \beta(1 - \alpha) $ である。
• 分数階数 $ \alpha $ に小さな変化がある場合、解の差は階数の差とマイトガグ・レフラー関数を含む項で有界である。
• 逐次近似の収束は重み付き空間 $ C_{1-\gamma}[a,b] $ で保証され、極限は分数階微分方程式の積分形を満たす。
• 初期点 $ a $ の近傍で解は適切に定義されたままであり、$ l > a $ に対して $[a,l]$ では顕著な変化が生じる可能性があるが、$[l,b]$ では安定性が保たれる。
• 階数の摂動による解の変動の境界は、一般化されたグロワンデルの不等式を用いて導出され、階数の差とカーネル $ (x-t)^{\alpha - \delta - 1} $ を含む。