[論文レビュー] Existence and uniqueness of solutions of stochastic functional differential equations

Max‐K. von Renesse, Michael Scheutzow|ArXiv.org|Dec 9, 2008

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、拡散係数とドリフト係数に弱い単調性（片側リプシッツ）条件が課された場合に、有界記憶をもつ確率的関数微分方程式に対する強い解の存在および一意性を確立する。著者らは、新たなバージョンのオイラー＝ムラヤマスキームを用いて、係数がリプシッツでない場合でさえも局所的な存在および一意性を証明し、解の最大解が爆発時刻まで正しく再構成されることを示している。弱い成長条件により爆発を防ぎ、解の最大解への収束を保証する。

ABSTRACT

We provide sufficient conditions on the coefficients of a stochastic functional differential equation with bounded memory driven by Brownian motion which guarantee existence and uniqueness of a maximal local and global strong solution for each initial condition. Our results extend those of previous works. For local existence and uniqueness, we only require the coefficients to be continuous and to satisfy a one-sided local Lipschitz (or monotonicity) condition. In an appendix we formulate and prove four lemmas which may be of independent interest: three of them can be viewed as rather general stochastic versions of Gronwall's Lemma, the final one - which we call Dereich-Lemma - provides tail bounds for Hoelder norms of stochastic integrals.

研究の動機と目的

• 文献における確率的関数微分方程式に関する体系的ギャップを埋めるために、弱い単調性条件下での解の存在および一意性を証明すること。
• 非遅れSDEにおける古典的な片側リプシッツ条件を、有界記憶をもつ遅れ方程式へと拡張すること。
• 有限時間爆発が生じる場合でさえも、強い近似を提供する数値スキームの開発。
• 解のグローバル存在を保証し、爆発を防ぐ弱い成長条件の同定。
• 独立に有用な一般的手法として、確率的グローバルlemmasおよびホルダーノルムの尾確率バウンドの提供。

提案手法

• 有界記憶をもつ確率的関数微分方程式に対して、経路に依存する係数の離散時間近似を用いた、修正されたオイラー＝ムラヤマスキームを構築する。
• このスキームは、弱い単調性条件（M）の下で分析され、これは古典的な片側リプシッツ条件を無限次元の経路空間 C([-r,0]; R^d) へ一般化する。
• 付録で、標準的なバーグシュタイン＝デービス＝ギュンデイの不等式およびグローバルlemmasの失敗を補うために、C^0ノルムへの弱い依存性に起因する問題を克服するための確率的グローバルlemmasを発展させる。
• ガウス型等周問題と時間変換付きブラウン運動表現を用いて、確率積分のホルダーノルムの尾確率を導出する。
• この方法が、爆発時刻までの最大解へ強い収束を示し、爆発時刻の数値的回復を可能にすることを示す。
• グローバル存在を保証する弱い成長条件（C）を導入し、散逸系における強制項に類似した性質を有する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ドリフトおよび拡散係数に、完全なリプシッツ連続性を仮定しない片側リプシッツ（単調性）条件のみが課された場合に、有界記憶をもつ確率的関数微分方程式に対して、強い解の局所的存在および一意性を確立できるか？
• RQ2 解が有限時間に爆発する場合であっても、オイラー＝ムラヤマスキームが解の強い近似を提供できるか？
• RQ3 弱い正則性下で、経路に依存する無限次元設定において、確率的グローバルlemmasを定式化し、証明できるか？ これにより、解の成長を制御できるか？
• RQ4 このような方程式において、解のグローバル存在を保証し、爆発を防ぐために必要な係数の弱い成長条件は何か？
• RQ5 関数型SDEの文脈において、確率積分のホルダーノルムの一般的尾確率バウンドは存在するか？

主な発見

• 弱い単調性条件（M）の下で、解の局所的存在および一意性が確立され、これはドリフトおよび拡散係数が経路空間のコンパクト部分集合上で片側リプシッツ条件を満たすことを要件としている。
• 提案されたオイラー＝ムラヤマスキームは、解の強い近似を提供し、爆発が生じる場合には爆発時刻までの最大解へ収束する。
• グローバル存在を保証する弱い成長条件（C）が同定され、係数がリプシッツでない場合であっても爆発を防ぐ。
• 著者らは、独立に有用な4つの補題を証明した：2つの確率的グローバルlemmasおよび2つの確率積分のホルダー半ノルムの尾確率バウンド。
• 確率的グローバルlemmasは、ドリフトおよび拡散係数に弱い可積分性仮定がある場合に、非負の擬マルチンゲールの上界のp次のモーメントを制御可能である。
• ホルダー半ノルムの尾確率バウンド補題は、確率積分のホルダー半ノルムの指数的尾確率推定値を提供し、経路空間における滑らかさの欠如に対処する上で極めて重要である。