[論文レビュー] Existence and uniqueness of weak solutions to viscous primitive equations for certain class of discontinuous initial data

Jinkai Li, Edriss S. Titi|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、空間 $X = \{v \in (L^6(\Omega))^2 \mid \partial_z v \in (L^2(\Omega))^2\}$ の関数に対する小さな $L^\infty$ 異常関数の初期データに対して、粘性原始方程式の弱解の全域的存在および一意性を確立する。この結果は、連続および $z$-弱解に関する先行の一意性結果を一般化し、条件付き一意性枠組みを導入し、正則化およびコンパクト性の議論を用いて不連続な初期データを扱う。

ABSTRACT

We establish some conditional uniqueness of weak solutions to the viscous primitive equations, and as an application, we prove the global existence and uniqueness of weak solutions, with the initial data taken as small $L^\infty$ perturbations of functions in the space $X=\left\{v\in (L^6(Ω))^2|\partial_zv\in (L^2(Ω))^2 ight\}$; in particular, the initial data are allowed to be discontinuous. Our result generalizes in a uniform way the result on the uniqueness of weak solutions with continuous initial data and that of the so-called $z$-weak solutions.

研究の動機と目的

• 初期データが不連続である場合の粘性原始方程式の弱解の存在および一意性を確立すること。
• 連続な初期データおよび $z$-弱解に関する先行の一意性結果を統一的な枠組みへ一般化すること。
• 原始方程式の適切性理論を、$X$ 内の関数に対する $L^\infty$ 異常関数を含むより広い初期データのクラスへ拡張すること。
• 特に、縦方向速度の動的方程式の欠如に起因する、一般の場合における弱解の一意性の未解決問題に取り組むこと。

提案手法

• 滑らかな設定で近似解を構成するため、初期データの正則化にモリファイアを用いる。
• 正則化された解に対して、$L^\infty(0,T;L^6(\Omega))$、$L^2(0,T;H^1(\Omega))$、$L^\infty(0,T;L^2(\Omega))$ における一様な事前推定を得る。
• Aubin–Lions の補題を適用し、$L^2(\Omega \times (0,t))$ における強い収束および適切な関数空間における弱-* 収束を抽出する。
• ノルムの弱下半連続性を用いて極限に移行し、極限が原始方程式の弱形式を満たすことを確認する。
• 縦方向速度成分 $V$ の $L^\infty$ ノルムの減衰に基づく条件付き一意性枠組みを導入する。
• 時間に依存するバインド $\mu(t)$ を $\|V\|_{L^\infty}$ に対して確立し、初期データの小さな条件を満たすことで一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期データが不連続である場合、粘性原始方程式の弱解は一意に特定可能か？
• RQ2 弱解の一意性は、連続または $z$-弱初期データを越えて拡張可能か？
• RQ3 連続解および $z$-弱解の一意性結果をカバーする統一的な枠組みを構築可能か？
• RQ4 特に微分損失の下で、縦方向速度成分が弱解の一意性に果たす役割は何か？

主な発見

• 初期データが空間 $X = \{v \in (L^6(\Omega))^2 \mid \partial_z v \in (L^2(\Omega))^2\}$ の関数に対する小さな $L^\infty$ 異常関数である場合、弱解の全域的存在が確立される。
• 条件付き一意性結果が証明され、縦方向速度成分 $V$ の $L^\infty$ ノルムが時間とともに十分に小さければ一意性が成立する。
• 解 $v$ は $v \in C([0,\infty);W_{\text{per}}^{-1,\frac{5}{4}}(\Omega)) \cap L^\infty_{\text{loc}}([0,\infty);L^2(\Omega)) \cap L^2_{\text{loc}}([0,\infty);H^1_{\text{per}}(\Omega) \cap \mathcal{H})$ を満たす。
• 極限解に対してエネルギー不等式が等式として成り立ち、$t=0$ を除く領域でそれが強い解であることを確認する。
• 極限解 $v$ が、非圧縮性条件および運動量方程式を含む原始方程式の弱形式を満たすことが示される。
• この結果は、$z$-弱解の一意性および連続初期データの一意性結果を、一つの均一な枠組みへ一般化する。