[論文レビュー] Existence and uniqueness results for a class of non linear models

Monica De Angelis, Alfonso Maio+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2012

Differential Equations and Numerical Methods参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、関連する線形作用素の基本解に基づく積分微分形式を用いて、拡散現象をモデル化する非線形3階放物型偏微分方程式の解の存在および一意性を確立する。核に関する厳密な推定を伴う固定点定理を適用することで、適切な初期データおよび非線形項のリプシッツ連続性の下で、解が時間全域にわたり一意的かつ滑らかに存在することを証明する。

ABSTRACT

The qualitative analysis of the initial value problem P related to a non linear third order parabolic equation typical of diffusive models is discussed. Some basic properties of the the fundamental solution of a related linear operator are determined and are applied to an equivalent integro differential formulation of the problem. By the fixed point theorem, existence and uniqueness results are obtained

研究の動機と目的

• 拡散モデルに現れる非線形3階放物型方程式の解の存在および一意性を確立すること。
• 粘性項および反応項を含む高階放物型方程式の初期値問題を分析すること。
• 線形化作用素の基本解を用いて、等価な積分微分方程式に再定式化すること。
• 固定点の議論を用いて初期データへの連続的依存性および安定性を証明すること。
• 繰り返しの収縮写像による手法を用いて、有限時間区間における解の全域的存在を拡張すること。

提案手法

• ラプラス変換およびベッセル関数表現を用いて、線形作用素 L の基本解 K(x,t) を導出する。
• ラプラス変換解析を用いて、K の主要な性質（非負性、可積分性、漸近的挙動）を確立する。
• K との畳み込みを含む積分微分方程式として、初期値問題を等価に定式化する。
• 有界で、かつその微分が有界である関数のバナッハ空間を定義する。
• 時間局所的設定において収縮写像の原理を適用し、小さな時間区間における解の存在および一意性を証明する。
• 収縮性を用いて、連続する時間区間における帰納的拡張により、解を全域にまで拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形3階放物型方程式の初期値問題は、時間空間全域に一意的な解をもつか。
• RQ2 線形化作用素の基本解を用いて、非線形PDEを等価な積分微分方程式に再定式化できるか。
• RQ3 非線形項 F および初期データに対して、一意的な解が時間全域に存在するための条件は何か。
• RQ4 解は初期データおよび方程式のパラメータに対して連続的に依存するか。
• RQ5 解作用素が適切な関数空間において収縮写像であるための十分条件は何か。

主な発見

• 基本解 K(x,t) は領域 D において C∞ であり、a < b = c²/ε のとき非負である。
• K の空間全領域における全質量は 1/a で有界であり、∫ℝ K(|x−ξ|,t) dξ = (1/a)(1−e−at) ≤ 1/a を満たす。
• 積分表現で定義される解作用素は、時間区間 η が βF(1/a + 1/√(ε(b−a))) < 1 を満たすとき、有界で滑らかな関数のバナッハ空間上で収縮写像である。
• 十分に小さな η に対して、解は [0,η] 上に一意的に存在し、この解は帰納的構成により任意の有限 T まで拡張可能である。
• 解は領域 D における元のPDEを点ごとに満たし、核および初期データの滑らかさを引き継ぐ。
• 解は初期データ f₀ および f₁ に対して連続的に依存し、収縮性の議論から安定性推定を導出可能である。