[論文レビュー] Existence and uniqueness results for BSDEs with jumps: the whole nine yards

Antonis Papapantoleon, Dylan Possamaï+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2016

Stochastic processes and financial applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般の条件のもとで、無限時間領域、確率的に不連続なフィルトレーション、確率的リプシッツ生成子を伴う多次元後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）の解の存在および一意性を確立する。主な貢献は、重み付き空間における適切な定式化であり、従来の理論を一般のマルティングールドに駆動されるBSDEにまで拡張し、一般のマルティングールドの離散時間近似に駆動されるBSDEを含む。

ABSTRACT

This paper is devoted to obtaining a wellposedness result for multidimensional BSDEs with possibly unbounded random time horizon and driven by a general martingale in a filtration only assumed to satisfy the usual hypotheses, i.e. the filtration may be stochastically discontinuous. We show that for stochastic Lipschitz generators and unbounded, possibly infinite, time horizon, these equations admit a unique solution in appropriately weighted spaces. Our result allows in particular to obtain a wellposedness result for BSDEs driven by discrete--time approximations of general martingales.

研究の動機と目的

• フィルトレーションおよび生成子に対する最小限の仮定の下で、多次元BSDEの解の適切な定式化を確立すること。
• 従来のブラウン運動に起因するフィルトレーションを超えて、一般のマルティングールドに駆動されるBSDEに理論を拡張すること、特に確率的に不連続なフィルトレーションを含むこと。
• 金融工学や確率的制御の応用で一般的な、無限または無限大の時間領域を扱うこと。
• 一般のマルティングールドの離散時間近似に駆動されるBSDEを扱うフレームワークを提供し、数値的・近似スキームの実現を可能にすること。
• 古典的な一様リプシッツ条件を一般化し、確率的リプシッツ条件を導入することで、非一様リプシッツ生成子への適用範囲を拡大すること。

提案手法

• 著者らは、適切に重み付けられた確率的空間における不動点定理を用いて、解の存在および一意性を証明する。
• 解の成長を制御するため、指数型局所マルティングールドと積分可能性条件に基づく重み付きノルムを定義する。
• 生成子は、フィルトレーションに適応した確率過程としてのリプシッツ定数を満たす確率的リプシッツ条件を仮定する。
• 解析は通常の仮定を満たすフィルトレーション上で行われ、確率的に不連続なマルティングールドや一般のセミマルティングールド駆動子を含む。
• 解空間は、無限大時間領域においても、過程対 (Y, Z) の積分可能性および予測可能性を保証するように構築される。
• 証明は、ジャンプ成分の構造と生成子の確率的リプシッツ性を活用した、重み付きL²型空間における事前推定および収縮写像の議論に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間領域が無限大または確率的である場合、ジャンプを伴う多次元BSDEが、どのような条件下で一意な解を持つのか。
• RQ2 古典的なリプシッツ条件は、確率的リプシッツ条件（確率的リプシッツ定数を伴う）に置き換え可能であり、それでも適切な定式化が保証されるか。
• RQ3 確率的に不連続（連続的または準左連続でない）フィルトレーションに対しても、BSDEの適切な定式化理論を拡張可能か。
• RQ4 一般のマルティングールドの離散時間近似に駆動されるBSDEは、連続時間BSDEと同一の枠組み内で厳密に取り扱えるか。
• RQ5 重み付き空間における存在および一意性を保証するための、終端条件および生成子の最小限の積分可能性および正則性条件は何か。

主な発見

• 本稿は、時間領域が無限大または確率的であっても、確率的リプシッツ条件を満たす多次元BSDEの解の存在および一意性を確立する。
• 解は適切に重み付けられたL²型空間に存在し、その空間は無限時間領域における解過程の成長を扱える。
• 通常の仮定を満たす一般のフィルトレーション（確率的に不連続なマルティングールドを含む）に対しても結果は成立する。
• 本フレームワークは、一般のマルティングールドの離散時間近似に駆動されるBSDEを扱えるようになり、数値的スキームの基礎を提供する。
• 確率的リプシッツ条件は不可欠である：確率的リプシッツ定数を許容することで、古典的な一様リプシッツ条件を一般化し、適用範囲を拡大する。
• 証明は重み付き空間における収縮写像に依拠しており、収縮の十分条件は、ジャンプの大きさ、ドリフト、ボラティリティのパラメータに関して明示的に導出されている。