[論文レビュー] Existence and uniqueness results for viscous, heat-conducting 3-D fluid with vacuum

Ting Zhang, Daoyuan Fang|ArXiv.org|Feb 7, 2007

Navier-Stokes equation solutions参考文献 22被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、密度および温度に依存する粘性係数と熱伝導率係数を有する3次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、初期真空を許容する強解の局所的かつ一意的な存在を確立する。物理的に妥当な物性に関する仮定の下で、初期密度がコンパクトな台を持ち、初期運動量が非ゼロである場合、$[\mathbb{R}^{n}$ で滑らかな解が有限時間内に爆発することを示し、爆発基準を確立する。

ABSTRACT

We consider the 3-D full Navier-Stokes equations whose the viscosity coefficients and the thermal conductivity coefficient depend on the density and the temperature. We prove the local existence and uniqueness of the strong solution in a domain $Ω\subset\mathbb{R}^3$. The initial density may vanish in an open set and $Ω$ could be a bounded or unbounded domain. We also prove a blow-up criterion for the solution. Finally, we show the blow-up of the smooth solution to the compressible Navier-Stokes equations in $\mathbb{R}^n$ ($n\geq1$) when the initial density has compactly support and the initial total momentum is nonzero.

研究の動機と目的

• 密度および温度に依存する粘性係数と熱伝導率係数を有する3次元完全ナビエ＝ストークス方程式に対する強解の存在および一意性を確立すること。
• 初期密度が開集合内で消失する可能性がある（すなわち、真空を許容する）状況を扱い、標準的な正の初期密度の仮定を拡張すること。
• 有界および無限大領域の両方において、解の爆発基準を導出すること。
• 初期密度がコンパクトな台を持ち、初期全運動量が非ゼロである場合、$[\mathbb{R}^{n}$（$n\geq1$）における圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の滑らかな解が有限時間内に爆発することを証明すること。

提案手法

• 圧力、内部エネルギー、および密度 $\rho$ と温度 $\theta$ に依存する輸送係数（$\mu, \lambda, \kappa$）を有する3次元完全ナビエ＝ストークス系を定式化する。
• 物理的制約を課す：$\mu>0$、$3\lambda+2\mu\geq0$、$\kappa\geq0$ であり、熱力学的整合性のため $\partial_\theta e \geq \underline{c}>0$ を仮定する。
• 重み付きエネルギー推定と楕円型系の $L^p$-理論を用いて、ソボレフ空間内での速度場および温度場を制御する。
• 速度勾配の $L^p$-ノルムの増大と密度の $L^2$-ノルムに基づく爆発基準を適用する。
• 粒子軌道解析と運動量保存を用いて、初期密度がコンパクトな台を持ち、初期運動量が非ゼロである場合に、解の全域的存続を仮定したときの矛盾を導出する。
• 速度が密度の台の外縁でゼロである（$u=0$）という事実を活用し、重心の境界性を評価し、有限時間内での爆発を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 密度および温度に依存する粘性係数と熱伝導率係数を有する3次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、初期真空を許容する条件下で、強解が局所的に時間内に存在する条件は何か？
• RQ2 初期密度に真空領域が存在する場合でも、解は一意に定まるか？
• RQ3 速度および密度勾配のノルムの増大に関する観点から、解の爆発基準はどのように記述できるか？
• RQ4 初期密度がコンパクトな台を持ち、初期運動量が非ゼロである場合、$\mathbb{R}^n$（$n\geq1$）における圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の解は、有限時間内に必然的に爆発するか？
• RQ5 温度および密度に依存する輸送係数は、解の正則性および存続期間にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿では、初期密度が開集合内で消失する可能性がある状況においても、密度および温度に依存する粘性係数と熱伝導率係数を有する3次元完全ナビエ＝ストークス方程式に対して、強解の局所的かつ一意的な存在を証明する。
• 解の爆発基準が確立され、速度勾配の特定のノルムおよび密度のノルムが急激に増大する場合には、解が全域的に存在できないことが示される。
• 初期密度がコンパクトな台を持ち、初期全運動量が非ゼロである場合、$\mathbb{R}^n$（$n\geq1$）における圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の滑らかな解が有限時間内に爆発することを示す。
• 速度が密度の台の外縁でゼロであるため、密度の台は時間経過に伴い変化せず、$\Omega(t) = \Omega(0)$ のままである。
• 流体の重心は時間とともに線形に変化し、その有界性は運動量の線形増大と矛盾をきたすため、有限時間内に爆発が生じる。
• 結果は有界領域および無限大領域（$\mathbb{R}^3$、$\mathbb{R}^3_+$、滑らかな境界を有する外部領域を含む）の両方において成り立つ。