[論文レビュー] Existence, multiplicity and concentration for a class of fractional $p\&q$ Laplacian problems in $\mathbb{R}^{N}$

Claudianor O. Alves, Vincenzo Ambrosio+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 45被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、小さなパラメータ $\varepsilon > 0$ を伴う $\mathbb{R}^N$ 上の分数階 $p\&q$ ラプラシアン方程式の非自明な非負解の存在、多重性、および集中を確立する。変分法、ネハリ多様体の技法、およびアームブラゼッティ＝ラビノヴィッツ条件を仮定しないルジュステルニク＝シュナイレルマンカテゴリー理論を用いて、著者らは解がポテンシャル $V(x)$ が最小値 $V_0$ をとる点の周囲に集中することを証明し、解の数は集合 $\{x \in \mathbb{R}^N : V(x) = V_0\}$ のカテゴリーによって下から抑えられることを示す。また、モーザー反復法による議論で解の一様有界性が確立される。

ABSTRACT

In this work we consider the following class of fractional $p\&q$ Laplacian problems \begin{equation*} (-\Delta)_{p}^{s}u+ (-\Delta)_{q}^{s}u + V(\varepsilon x) (|u|^{p-2}u + |u|^{q-2}u)= f(u) \mbox{ in } \mathbb{R}^{N}, \end{equation*} where $\varepsilon>0$ is a parameter, $s\in (0, 1)$, $1< p<q<\frac{N}{s}$, $(-\Delta)^{s}_{t}$, with $t\in \{p,q\}$, is the fractional $t$-Laplacian operator, $V:\mathbb{R}^{N} ightarrow \mathbb{R}$ is a continuous potential and $f:\mathbb{R} ightarrow \mathbb{R}$ is a $\mathcal{C}^{1}$-function with subcritical growth. Applying minimax theorems and the Ljusternik-Schnirelmann theory, we investigate the existence, multiplicity and concentration of nontrivial solutions provided that $\varepsilon$ is sufficiently small.

研究の動機と目的

• 小さなパラメータ $\varepsilon > 0$ を伴う $\mathbb{R}^N$ 上の分数階 $p\&q$ ラプラシアン方程式に対して、非自明な非負解の存在を確立すること。
• アームブラゼッティ＝ラビノヴィッツ条件を要請しないルジュステルニク＝シュナイレルマンカテゴリー理論を用いて、解の多重性を調査すること。
• パラメータ $\varepsilon \to 0$ の極限における解の集中行動を分析し、解がポテンシャル $V(x)$ を最小化する点の周囲に集中することを示すこと。
• モーザー反復法の変種を用いて、すべての解の一様有界性を証明すること。

提案手法

• 分数階 $p\&q$ ラプラシアン問題に関連するエネルギー汎関数を研究するために変分法が用いられる。
• 非線形性を扱い、グランドステート解の存在を確立するためにネハリ多様体が用いられる。
• ネハリ多様体にルジュステルニク＝シュナイレルマンカテゴリー理論を適用して多重性結果を導出する。
• 解集合のカテゴリーとポテンシャル $V(x)$ の最小値集合のカテゴリーを関連付けるために、ホモトピー議論と変形リトラクション $\beta_\varepsilon \circ \Phi_\varepsilon$ が用いられる。
• 弱解に対して修正されたモーザー反復スキームを適用し、本質的有界性を証明することで $L^\infty$-正則性を確立する。
• アームブラゼッティ＝ラビノヴィッツ条件を仮定しないネハリ多様体上のパライス＝スモール条件の証明がなされ、これは主な技術的新規性である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分数階 $p\&q$ ラプラシアン方程式が $\mathbb{R}^N$ 上で $\varepsilon > 0$ が十分小さくても、少なくとも一つの非自明な非負解をもつための条件は何か？
• RQ2 この問題はいくつの非自明な非負解をもつのか？ また、その数は集合 $\{x \in \mathbb{R}^N : V(x) = V_0\}$ の位相的性質とどのように関係するか？
• RQ3 パラメータ $\varepsilon \to 0$ のとき、解はどこに集中するのか？ また、その質量分布の漸近的挙動はどのように定式化できるか？
• RQ4 アームブラゼッティ＝ラビノヴィッツ条件を仮定しない状況でも、解の有界性を確立できるか？ もしそうなら、その方法は何か？

主な発見

• 十分に小さい $\varepsilon > 0$ に対して、問題 (1.1) は $V(x_0) = V_0$ を満たす点 $x_0 \in \mathbb{R}^N$ の周囲に集中する非負のグランドステート解 $u_\varepsilon$ をもつ。
• 任意の $\delta > 0$ に対して、$\varepsilon_\delta > 0$ が存在し、すべての $\varepsilon \in (0, \varepsilon_\delta)$ に対して、問題は少なくとも $\text{cat}_{M_\delta}(M)$ 個の非自明な非負解をもつ。ここで $M = \{x : V(x) = V_0\}$ かつ $M_\delta = \{x : \text{dist}(x, M) \leq \delta\}$ である。
• 集中は積分形で定量的に記述される：各列 $\varepsilon_n \to 0$ に対して、解 $u_{\varepsilon_n}$ は $\int_{B_{\varepsilon_n \bar{R}}(y)} f(u_{\varepsilon_n}) u_{\varepsilon_n} \, dx \geq C \varepsilon_n^N$ および $\int_{\mathbb{R}^N \setminus B_{\varepsilon_n \bar{R}}(y)} f(u_{\varepsilon_n}) u_{\varepsilon_n} \, dx < \varepsilon_n^N \delta$ を満たす。ここで $C > 0$ かつ $\bar{R} > 0$ である。
• 問題 (1.1) のすべての解は $L^\infty(\mathbb{R}^N)$ で一様有界であり、ある $K > 0$ に対して $\|u\|_{L^\infty} \leq K$ が成り立つ。これはモーザー反復法による議論で確立される。