[論文レビュー] Existence, multiplicity and regularity of solutions of elliptic problem involving non-local operator with variable exponents and concave-convex nonlinearity

Reshmi Biswas, Sweta Tiwari|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、空間的に変化する指数と次数を有する新しい変数指数分数的ソボレフ空間 $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(\Omega)$ を導入し、変数次数分数的ラプラシアンと凹凸非線形性を有する非局所楕円型問題の解の存在、多重性、および一様な正則性評価を確立する。変分法を用いて、非線形項の増大度が臨界的でない条件下で、複数の正の解の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper, first we introduce the variable exponent fractional Sobolev space $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(Ω).$ Then, using variational methods we study the existence and multiplicity of solution of the following variable order non-local problem involving concave-convex type nonlinearity: \begin{align*} (-Δ)_{p(\cdot)}^{s(\cdot)} u(x)&=λ\mid u(x)\mid^{α(x)-2}u(x)+f(x,u),\hspace{3mm} x\in Ω, % u&>0,\hspace{15mm} x\in Ω, u&=0,\hspace{38mm}x\in \mathcal{C}Ω:=\mathbb R^n\setminusΩ, \end{align*} where $λ>0,$ $p\in C(\overlineΩ imes \overlineΩ,(1,\infty))$, $s\in C(\overlineΩ imes\overlineΩ, (0,1))$ and $q,α\in C(\overlineΩ,(1,\infty))$ and $f:Ω imes\mathbb R ightarrow[0,\infty)$ is a Caratheodory function with subcritical growth. We also prove the uniform estimate for the solution of the above problem.

研究の動機と目的

• 空間的に変化する次数 $s(x,y)$ および指数 $p(x,y)$ を有する新しい変数指数分数的ソボレフ空間 $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(\Omega)$ の定義と解析。
• 変数次数分数的 $p(\cdot)$-ラプラシアンを含む非局所楕円型問題の弱解の存在および多重性の調査。
• 非線形項 $f(x,u)$ に対する臨界的でない増大度条件の下で解の均一な評価の確立。
• 変数指数および凹凸非線形性を併せ持つ非局所問題への変分法の拡張。
• 非標準的かつ変数次数のソボレフ設定における解の正則性および構造の理論的基盤の提供。

提案手法

• 著者たちは、空間的に変化する分数的次数 $s(x,y)$ および可積分性指数 $p(x,y)$ を扱えるように、新しい変数指数分数的ソボレフ空間 $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(\Omega)$ を定義する。
• 非局所問題に関連するエネルギー汎関数に変分法を適用し、変分法における直接法を用いる。
• 適切な増大度および強制的条件の下で、マウンテンパス定理を用いて少なくとも1つの弱解の存在を確立する。
• 非線形項 $f(x,u)$ の挙動に応じて、フューチェン定理またはリンク型定理を用いて解の多重性を証明する。
• 事前評価および変数指数空間の性質を用いて、解の均一な評価を導出する。
• 非線形項 $f(x,u)$ はカラテオドリ関数であり、臨界的でない増大度を有すると仮定し、汎関数が適切に定義されかつ強制的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 変数次数分数的 $p(\cdot)$-ラプラシアンと凹凸非線形性を有する非局所楕円型問題に対して、新しい変数指数分数的ソボレフ空間内に弱解が存在するか？
• RQ2 パrameter $\lambda$, $\alpha(x)$, および $f(x,u)$ に対する与えられた条件下で、何個の弱解を保証できるか？
• RQ3 変数指数パrameter $s(x,y)$ および $p(x,y)$ に依存しない解の均一な境界を確立できるか？
• RQ4 解の正則性クラスは、変数指数分数的ソボレフ空間の観点からどのように記述できるか？
• RQ5 変数指数 $s(x,y)$, $p(x,y)$, および $\alpha(x)$ は、解の構造および多重性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 臨界的でない増大度および強制的条件の下で、変分法を用いて非局所問題に対して少なくとも1つの弱解の存在を確立する。
• 臨界点理論、特にフューチェン定理を用いて、適切なパrameter範囲において複数の弱解の存在を証明する。
• 事前評価および変数指数空間の性質を用いて、変数指数パrameterに依存しない解の均一な評価を導出する。
• 解空間は $W^{s(x,y),q(x),p(x,y)}(\Omega)$ として厳密に定義され、古典的分数的ソボレフ空間を変数次数および変数指数設定へ拡張する。
• 非線形項 $f(x,u)$ が臨界的でない増大度を有することを示し、これにより関連エネルギー汎関数のコンパクト性および下半連続性が保証される。
• 凹凸非線形性を有する問題構造は、部分線形項と超線形項の競合により、多重性結果を導く要因となる。