[論文レビュー] Existence, nonexistence, symmetry and uniqueness of ground state for critical Schrödinger system involving Hardy term

Senping Luo, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ハーディー型ポテンシャルと臨界非線形項を含む臨界シュレーディンガー系に対して、基底状態解の存在・非存在・対称性・一意性を確立する。変分法とスケーリング議論を用いて、$ r \to 3 $ のとき、すべての結合定数 $ \beta_{jk} > 0 $ ならば正の基底状態解が存在し、すべて $ \beta_{jk} < 0 $ ならば非存在であり、それらは回転対称的である。さらに $ r \to 3 $、$ N = 4 $ の場合、一意性が示される。

ABSTRACT

We study the following elliptic system with critical exponent: \begin{displaymath} \begin{cases}-Δu_j-\frac{λ_j}{|x|^2}u_j=u_j^{2^*-1}+\sum\limits_{k eq j}β_{jk}α_{jk}u_j^{α_{jk}-1}u_k^{α_{kj}},\;\;x\in\R^N, u_j\in D^{1,2}(\R^N),\quad u_j&gt;0 \;\; \hbox{in} \quad \R^N\setminus \{0\},\quad j=1,...,r.\end{cases}\end{displaymath} Here $N\geq 3, r\geq2, 2^*=\frac{2N}{N-2}, λ_j\in (0, \frac{(N-2)^2}{4})$ for all $ j=1,...,r $; $β_{jk}=β_{kj}$; \; $α_{jk}&gt;1, α_{kj}&gt;1,$ satisfying $α_{jk}+α_{kj}=2^* $ for all $k eq j$. Note that the nonlinearities $u_j^{2^*-1}$ and the coupling terms all are critical in arbitrary dimension $N\geq3 $. The signs of the coupling constants $\bb_{ij}$'s are decisive for the existence of the ground state solutions. We show that the critical system with $r\geq 3$ has a positive least energy solution for all $β_{jk}&gt;0$. However, there is no ground state solutions if all $β_{jk}$ are negative. We also prove that the positive solutions of the system are radially symmetric. Furthermore, we obtain the uniqueness theorem for the case $r\geq 3$ with $N=4$ and the existence theorem when $r=2$ with general coupling exponents.

研究の動機と目的

• ハーディー・ポテンシャルと臨界的非線形結合を含む臨界シュレーディンガー系の基底状態解の存在と非存在を確立すること。
• 結合定数 $ \beta_{jk} $ が正の最小エネルギー解の存在に与える影響を調査すること。
• 移動球面法を用いて正の解の回転対称性を証明すること。
• $ r \geq 3 $、$ N = 4 $ の場合、特定の結合条件の下で基底状態解の一意性を確立すること。
• ハーディー項と臨界ソボレフ非線形項が同時に存在する二重臨界ケースにおける系の挙動を分析すること。

提案手法

• エネルギー汎関数をネハリ多様体上に定義し、$ D^{1,2}(Ω) $ 空間で変分法を用いて臨界点を特定する。
• 正の解の回転対称性を示すために移動球面法を適用し、$ u_j / u_k $ が定数であることを示し、すべての成分が比例することを示す。
• スケーリング議論により問題を正規化された系に還元し、ソボレフ埋め込みにおける既知の極値関数との比較を可能にする。
• 同次性とスケーリング不変性から得られる代数的方程式系を導出し、正の解 $ (c_1, c_2) $ が正規化されたプロファイルに存在することを示す。
• 特に $ N = 4 $ の臨界ケースにおいて、集中・コンパクトネスと爆発解析を用いてパライス・スモールド条件を回避する。
• 最小化列が既知の極値関数に比例する一意なプロファイルに収束することを示し、厳密な凸性と対称性制約を用いて一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合定数 $ \beta_{jk} $ がどのような条件下で、ハーディー・ポテンシャルを含む臨界シュレーディンガー系に正の基底状態解を許容するか。
• RQ2 系の正の解は回転対称的か。もしそうならば、どのような仮定の下で成立するか。
• RQ3 $ r \geq 3 $ かつ $ N = 4 $ の場合、基底状態解は一意に特徴付けられるか。
• RQ4 すべての $ \beta_{jk} < 0 $ の場合、特に $ r \geq 3 $ のとき、基底状態解の存在はどのように変化するか。
• RQ5 $ \alpha_{jk} + \alpha_{kj} = 2^* $ を満たす指数 $ \alpha_{jk}, \alpha_{kj} $ が解の存在および構造にどのように影響するか。

主な発見

• $ r \geq 3 $ のとき、すべての結合定数 $ \beta_{jk} > 0 $ ならば、ネハリ多様体上での変分的構成により正の最小エネルギー解が存在する。
• すべての $ \beta_{jk} < 0 $ ならば、変分的枠組みにおける強制性とエネルギーの制御の欠如により、基底状態解は存在しない。
• 系のすべての正の解は回転対称的であり、移動球面法により証明され、すべての $ j, k $ に対して $ u_j / u_k $ が定数であることを示す。
• $ r \geq 3 $ かつ $ N = 4 $ の場合、任意の最小化列が既知の極値関数に比例する一意なプロファイルに収束することを示し、基底状態解の一意性が確立される。
• 最小エネルギーレベル $ \Theta $ は、$ z $ が正の解である正規化臨界方程式の解である $ (\sqrt{c_1} z, \sqrt{c_2} z, \dots, \sqrt{c_r} z) $ の形の解によって達成される。
• 代数的方程式 $ c_j^{p-1} + \nu \alpha c_j^{\alpha/2 - 1} c_k^{\beta/2} = 1 $ の正の解の存在は、基底状態の候補の存在を保証する。