[論文レビュー] Existence of a positive solution for a logarithmic Schrödinger equation with saddle-like potential

Claudianor O. Alves, Chao Ji|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、変分法を用いて、鞍部型ポテンシャルを伴う対数的シュレーディンガー方程式に対して正の解の存在を確立する。変換された問題に対してシュルキンのアプローチを適用することで、ポテンシャルの幾何的および有界性条件のもとで、正の解に対応する臨界点の存在を証明した。これは、$ c_0 > -1 $ の対数的非線形性の場合に、先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

In this article we use the variational method developed by Szulkin \cite{szulkin} to prove the existence of a positive solution for the following logarithmic Schrödinger equation $$ \left\{ \begin{array}{lc} -ε^2Δu+ V(x)u=u \log u^2, & \mbox{in} \quad \mathbb{R}^{N}, \\ %u(x)>0, & \mbox{in} \quad \mathbb{R}^{N} \\ u \in H^1(\mathbb{R}^{N}), & \; \\ \end{array} ight. $$ where $ε>0, N \geq 1$ and $V$ is a saddle-like potential.

研究の動機と目的

• 対数的シュレーディンガー方程式に対して、鞍部型ポテンシャルを伴う正の解の存在を、先行の変分的取り扱いでは十分にカバーされていないケースに焦点を当てる。
• エネルギー汎関数が $ H^1(\mathbb{R}^N) $ で形式的に定義されない対数的非線形性に対処するため、洗練された変分的枠組みを採用する。
• 累乗型非線形性を伴う半線形楕円型方程式に対する先行の存在結果を、特に鞍部型ポテンシャル幾何における対数的非線形性の場合に拡張する。
• ポテンシャルが幾何的条件 (V1)-(V3) を満たし、特に $ c_0 > -1 $ を満たす場合に、正の解の存在を確立する。
• 変数変換を用いて、元の問題をミニマックス法に適した形に変換し、シュルキンの変分的技法の適用を可能にする。

提案手法

• 元の方程式 $ -\epsilon^2\Delta u + V(x)u = u\log u^2 $ を変数変換により $ -\Delta u + V(\epsilon x)u = u\log u^2 $ に変形することで、解析を単純化する。
• 変換された問題にシュルキンの変分法を適用し、凸関数と $ C^1 $-汎関数の和である汎関数に適している。
• エネルギー汎関数 $ J_{\epsilon}(u) = \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N} \left( |\nabla u|^2 + (V(\epsilon x) + 1)|u|^2 \right) dx - \frac{1}{2}\int_{\mathbb{R}^N} u^2 \log u^2 \, dx $ を定義し、与えられた条件下で $ H^1(\mathbb{R}^N) $ 上で適切に定義されることを示す。
• 有界集合 $ Q $ から部分集合 $ K $ への変形再帰 $ \Phi $ を用いて、ソボレフ空間 $ H^1(\mathbb{R}^N) $ 内のパスのミニマックス族 $ \Gamma $ を構成し、臨界点を捉える。
• パライス＝スモール条件を検証し、位相的デグリーのホモトピー不変性を用いて、ミニマックス値 $ C_\epsilon = \inf_{h \in \Gamma} \sup_{x \in Q} J(h(x)) $ が $ J $ の臨界値であることを証明する。
• 非線形性 $ f(t) = t \log t^2 $ が奇関数であり、解が符号を変化させないことに基づき、最大原理を用いて臨界点が正であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャルの下界 $ c_0 $ が $ c_0 > -1 $ を満たす場合、鞍部型ポテンシャルを伴う対数的シュレーディンガー方程式に対して正の解が存在するか？
• RQ2 エネルギー汎関数が $ H^1(\mathbb{R}^N) $ で形式的に定義されない対数的非線形性に対処するために、シュルキンの変分法がどのように適合可能となるか？
• RQ3 ポテンシャル $ V $ に対してどのような幾何的および有界性条件が、ミニマックス法によって正の解に対応する臨界点を導くか？
• RQ4 臨界値 $ C_\epsilon $ が $ m(c_0) + \sigma/2 $ と $ 2m(c_0) - \sigma $ の間で厳密に挟まれるか？ これにより非自明な解の存在が保証されるか？
• RQ5 ミニマックス法によって得られた解は正のままであるか？ これは非線形性の構造と最大原理から導けるか？

主な発見

• 本稿は、条件 (V1)-(V3) を満たす場合、$ c_0 > -1 $ であっても、鞍部型ポテンシャルを伴う対数的シュレーディンガー方程式に対して正の解の存在を証明した。これは先行研究を拡張するものである。
• ミニマックス値 $ C_\epsilon $ が区間 $ (m(c_0) + \sigma/2, 2m(c_0) - \sigma) $ 内にあることが示され、パライス＝スモール条件が成立することが保証され、臨界点理論の適用が可能になる。
• 背理法を用いて、ミニマックス値 $ C_\epsilon $ がエネルギー汎関数 $ J $ の臨界値であることを示し、臨界点の存在を確認した。
• 臨界点は非負であり、最大原理により、非線形性 $ f(t) = t \log t^2 $ が奇関数で、解が符号を変化させないことから、厳密に正である。
• 変形論的議論と位相的デグリーのホモトピー不変性を用いて、ミニマックス値 $ C_\epsilon $ が実際に臨界値であることを確立し、存在証明を完了した。