[論文レビュー] Existence of an invariant measure on a hypergroup

Yury Chapovsky|arXiv (Cornell University)|Dec 28, 2012

advanced mathematical theories参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、任意の局所コンパクトなハイパーグループに左（したがって右）不変測度の存在を証明し、ハイパーグループ理論における長年の空白を解消する。恒等元のコンパクト近傍における極限的構成と、ハイパーグループの代数的および位相的構造を活用することで、著者は、その全空間に全被覆を持つような測度の存在を確立する。

ABSTRACT

We prove existence of an invariant measure on a hypergroup.

研究の動機と目的

• 一般の局所コンパクトハイパーグループに左不変測度が存在するかどうかという未解決問題を解決すること。
• 特殊な場合（例えば、コンパクト、離散、可換なハイパーグループ）を超えて、不変測度の理論を拡張すること。
• 左移動に関して不変で、ハイパーグループ全体に全被覆を持つレドン測度を構成すること。
• さらなるハイパーグループ上の調和解析を支える一般の存在結果を提供すること。

提案手法

• 恒等元のコンパクト近傍 $U$ に対して、$g \in \mathscr{K}_+^*(U)$ でインデックス付けられた正の線形汎関数のネット $\chi_g$ を構成する。
• ハイパーグループの畳み込みおよび双対性の性質を用いて、$\chi_g(f) = \lim_{U} \chi_g(f)$ を $\mathbb{R}^+$ 内のコーシー列として定義し、収束を保証する。
• 畳み込みの台の性質および $\mathscr{M}_b$ 上の弱位相に基づく推定を用いて、$\chi_g(f)$ の挙動を一様に制御する。
• 極限汎関数 $\chi(f) = \lim \chi_g(f)$ が、任意のコンパクト $K \subset Q$ に対して $\mathscr{K}(K)$ 上で有界線形汎関数として定義されることを確立し、したがってレドン測度であることを示す。
• エプシロン・ネットとノルム制御を用いた推定により、$\langle \varepsilon_s * f, \chi \rangle = \chi(f)$ の極限において左不変性を確認する。
• レムマ 4 からの下界 $a_f > 0$ を用いて、すべての $f \in \mathscr{K}_+^*$ に対して $\chi(f) > 0$ であることを示し、全被覆を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の局所コンパクトハイパーグループは、左不変レドン測度をもつのか？
• RQ2 可換性や離散性の仮定なしに、不変測度の存在を確立できるか？
• RQ3 恒等元のコンパクト近傍における極限的プロセスを用いて、このような測度を構成することは可能か？
• RQ4 不変測度は、ハイパーグループ全体に全被覆を持つ必要があるのか？
• RQ5 位相的および測度論的推定を用いて、すべてのテスト関数に対して不変性の性質を一様に検証できるか？

主な発見

• 任意の局所コンパクトハイパーグループ $Q$ に左不変測度 $\chi$ が存在することが、恒等元のコンパクト近傍における極限的構成によって証明された。
• 測度 $\chi$ はレドン測度である。なぜなら、任意のコンパクト $K \subset Q$ に対して、極限汎関数 $\chi(f) = \lim \chi_g(f)$ が $\mathscr{K}(K)$ 上で有界かつ線形であるからである。
• 測度 $\chi$ はすべての $f \in \mathscr{K}_+^*$ に対して $\langle \varepsilon_s * f, \chi \rangle = \chi(f)$ を満たし、左不変性が確認された。
• レムマ 4 によって保証される $a_f > 0$ を用いて、すべての $f \in \mathscr{K}_+^*$ に対して $\chi(f) > 0$ であるため、$\chi$ の台はハイパーグループ $Q$ 全体である。
• 収束の保証のため、エプシロン・ネットと弱位相に基づく一様推定に依存する。
• 従来の存在定理（例えば、コンパクト、離散、可換な場合）を含む、局所コンパクトハイパーグループの全クラスへの一般化を達成した。