[論文レビュー] Existence of $C^{1,1}$ critical sub-solutions of the Hamilton-Jacobi equation on compact manifolds

Patrick Bernard|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2005

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 4被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、Matherの弱KAM理論におけるコンpakト多様体上でのハミルトニアン・ジャコビ方程式に対する$C^{1,1}$臨界下解の存在について、簡潔で自己完結的な証明を提示する。半凸関数の性質とLax-Oleinik半群を用いて、このような下解が存在することを示し、アーブリ集合の外では厳密に成り立つように選べることを示す。これにより、位相空間内の不変集合に対する最良の正則性と動的意味が得られる。

ABSTRACT

We prove the existence of a critical subsolution of the Hamilton-Jacobi equation which is differentiable with Lipschitz differential, improving a previous result of Fathi and Siconolfi. This text is a consolidated version with a minor mistake corrected from the published version.

研究の動機と目的

• Matherの弱KAM理論の文脈において、ハミルトニアン・ジャコビ方程式に対する$C^{1,1}$下解の存在を確立すること。
• 従来の手法の技術的複雑さを避け、簡潔で自己完備な証明を提供すること。
• すべての下解の空間における一様位相において、$C^{1,1}$下解の集合が稠密であることを示すこと。
• 特に、リプシッツグラフに含まれる不変集合の存在を含む、動的帰結を導出すること。
• 臨界下解が、射影されたアーブリ集合の外で厳密に満たされることを示すこと。

提案手法

• 連続関数から下解を生成するために、Lax-Oleinik半群$T_t$およびその双対$\breve{T}_t$を用いる。
• 特に$K$-半凸性を用いて、正則性を制御し、$C^{1,1}$性を導出する半凸関数の理論を適用する。
• 2回微分可能な有界な関数族を用いて、下解を下界の下限として表現し、2階微分の均一な制御を確保する。
• 各点における下解の正則性を特徴付けるために、近接上微分と$K$-上微分を用いる。
• 摂動ハミルトニアン$H + V$を用いた正則化技術を用いて、厳密な下解を構成する。
• Fathiの枠組みで確立された、下解条件と半群作用の単調性の同値性に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト多様体上でのハミルトニアン・ジャコビ方程式に対して、リプシッツ下解が存在するとき、$C^{1,1}$臨界下解が存在するか。
• RQ2 このような$C^{1,1}$下解を、アーブリ集合の外で厳密に満たすように構成できるか。
• RQ3 一様位相において、すべての下解の空間における$C^{1,1}$下解の集合が稠密か。
• RQ4 $C^{1,1}$臨界下解の存在から導ける動的不変量は何か。
• RQ5 $C^{1,1}$正則性は最良か。すなわち、$C^2$下解が存在しない例は存在するか。

主な発見

• 任意のトネリハミルトニアンに対して、下解が存在する限り、コンパクト多様体上での$C^{1,1}$臨界下解の存在が保証される。
• 一様位相において、すべての下解の空間における$C^{1,1}$下解の集合は稠密である。
• 臨界$C^{1,1}$下解は、射影されたアーブリ集合$\mathcal{A}(H)$の外で厳密に満たされるように構成可能であり、$\mathcal{A}(H)$の補集合上で$H(x,du_x) < \alpha(H)$が成り立つ。
• アーブリ集合$\tilde{\mathcal{A}}(H)$は、空でない、コンパクトで、不変な集合であり、$H^{-1}(\alpha(H))$に含まれ、$C^{1,1}$臨界下解のグラフに含まれる。
• アーブリ集合$\tilde{\mathcal{A}}(H)$は、その射影$\mathcal{A}(H)$上でリプシッツグラフであることが示され、これは$\mathcal{A}(H)$の外で$C^{1,1}$下解が厳密に満たされることに直接起因する。
• 付録Aの例は、$C^{1,1}$正則性が最良であることを確認しており、$C^2$下解が存在しないが$C^{1,1}$下解が存在する例が存在することを示している。