[論文レビュー] Existence of Chaos for a Singularly Perturbed NLS Equation

Yanguang Charles Li|ArXiv.org|Jun 25, 2002

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、特異的摂動 $ε\partial_\zeta^2$ によって生じる不可逆性にもかかわらず、対称なシルニコフホモクライニック軌道の近傍で、コンリー＝モーザー条件が満たされることを証明することにより、特異的摂動を受ける非線形シュレーディンガー（NLS）方程式にスマールの馬蹄型カオスの存在を確立した。主な結果は、ポアンカレ写像と4記号のシフト自己同型写像との位相的同相性であり、バーナウリシフトの振る舞いによってカオス的力学が確認される。

ABSTRACT

The work [Li,99] is generalized to the singularly perturbed nonlinear Schrödinger (NLS) equation of which the regularly perturbed NLS studied in [Li,99] is a mollification. Specifically, the existence of Smale horseshoes and Bernoulli shift dynamics is established in a neighborhood of a symmetric pair of Silnikov homoclinic orbits under certain generic conditions, and the existence of the symmetric pair of Silnikov homoclinic orbits has been proved in [Li,01]. The main difficulty in the current horseshoe construction is introduced by the singular perturbation $\e \pa_x^2$ which turns the unperturbed reversible system into an irreversible system. It turns out that the equivariant smooth linearization can still be achieved, and the Conley-Moser conditions can still be realized.

研究の動機と目的

• 正則化されたNLS方程式におけるカオス的力学に関する先行研究を、特異的摂動された場合にまで拡張すること。
• 特異的摂動 $\epsilon\partial_\zeta^2$ が可逆性を破り、系を不可逆にするという課題に対処すること。
• この不可逆的状況下でも、等長的滑らかな線形化とコンリー＝モーザー条件が依然として実現可能であることを示すこと。
• 対称なシルニコフホモクライニック軌道の近傍に、具体的にスマールの馬蹄型とバーナウリシフトの振る舞いを示すカオス的力学が存在することを確立すること。
• 鞍点平衡状態付近の固有値構造と非線形構造に依存する、馬蹄型力学が出現する厳密な条件を提供すること。

提案手法

• 固有値のシエーゲル型の非共鳴条件に基づき、鞍点 $Q_\epsilon$ の近傍で等長的滑らかな線形化を用いる。
• フローの力学を用いて、ホモクライニック軌道に直交する断面 $\Sigma_0$ 上にポアンカレ帰還写像 $P$ を構成する。
• ポアンカレ写像にコンリー＝モーザー条件を適用する：安定・不安定スライスの直径の指数的減少、および安定・不安定多様体の横断的交わり。
• 位相空間内での不安定・安定スライス間の遷移を表す4記号（$1,2,-1,-2$）の無限列として記号的力学を定義する。
• 記号的空間 $\mathcal{W}$ と断面内に存在するコンパクトなカントール集合 $\Lambda$ 間の位相同相写像 $\phi$ を構成し、$P \circ \phi = \phi \circ \chi$ を満たすようにする。ここで $\chi$ はシフト写像を表す。
• 鞍点 $Q_\epsilon$ の周囲における線形化作用素のスペクトル解析に依存し、$\lambda_0^+$ と $\lambda_1^+$ を正の実部を持つ不安定固有値と特定し、$\lambda_2^\pm$ を最も減衰の小さい安定固有値とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異的摂動 $\epsilon\partial_\zeta^2$ が可逆性を破る系において、スマールの馬蹄型力学が特異的摂動NLS方程式に確立可能か？
• RQ2 特異的摂動による不可逆的力学の存在下でも、コンリー＝モーザー法は依然として適用可能か？
• RQ3 特異的摂動NLS系において、対称なシルニコフホモクライニック軌道の近傍で等長的滑らかな線形化が達成可能か？
• RQ4 ポアンカレ写像が4記号のバーナウリシフトと位相的同相性を示すために、どのような一般的な条件下に置けるか？
• RQ5 特に $\lambda_0^+$ と $\lambda_1^+$ が $\lambda_2^\pm$ を上回るスペクトル的性質が、カオス的力学の構築にどのように寄与するか？

主な発見

• 対称なシルニコフホモクライニック軌道は、パrameter空間 $(\alpha, \beta, \omega)$ におけるcodimension-1の曲面上に存在し、$\alpha = 1/\kappa(\omega)$ であり、$\omega \in (1/2, 1) \setminus S$（$S$ は有限集合）を満たす。
• この曲面上のほとんどすべてのパrameter値に対して、固有値はシエーゲル型非共鳴条件を満たしており、鞍点 $Q_\epsilon$ の近傍で滑らかな線形化が可能である。
• 特異的摂動 $\epsilon > 0$ の下でフロー $F^t_\epsilon$ が半群を形成するという不可逆性にもかかわらず、等長的滑らかな線形化が依然可能である。
• コンリー＝モーザー条件が満たされている：安定・不安定スライスは指数的直径減少を示し、その交わりは横断的であり、カントール集合の軌道の存在が保証される。
• ポアンカレ写像 $P$ をカントール集合 $\Lambda$ に制限した場合と、4記号のシフト自己同型写像 $\chi$ の間で位相的同相性が確立され、バーナウリシフトの振る舞いが確認される。
• 得られるカオス的力学は、初期条件に対する敏感な依存性と、4記号の完全なシフトの存在を特徴とし、複雑で予測不能な振る舞いを示す。