[論文レビュー] Existence of coated inclusions of general shape weakly neutral to multiple fields in two dimensions

Hyeonbae Kang, Xiaofei Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2018

Numerical methods in inverse problems参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、陰関数定理に基づく摂動法を用いて、2次元の導電度問題において、任意のコア形状を持つ被覆された包含体が複数の均一な場に対して弱く中性であることを確立する。コアが円板の小さな摂動である場合、偏極テンソルが消えるような適切なシェルを構成できることを示し、これにより場の摂動が穏やかになることを保証する。

ABSTRACT

A two dimensional inclusion of core-shell structure is neutral to multiple uniform fields if and only if the core and the shell are concentric disks, provided that the conductivity of the matrix is isotropic. An inclusion is said to be neutral if upon its insertion the uniform field is not perturbed at all. In this paper we consider inclusions of core-shell structure of general shape which are weakly neutral to multiple uniform fields. An inclusion is said to be weakly neutral if the field perturbation is mild. We show, by an implicit function theorem, that if the core is a small perturbation of a disk then we can coat it by a shell so that the resulting structure becomes weakly neutral to multiple uniform fields.

研究の動機と目的

• 非円形コアを持つ包含体が複数の均一な場に対して弱く中性であるような構成方法を解く、未解決の問題に取り組む。
• 古典的な中性性結果（同心円板のみが中性である）を、任意のコア形状を許容する弱い意味での中性性に拡張する。
• コアが円板でない場合でも、シェルの設計によって偏極テンソルが消える（弱い中性性が達成される）ことを示す。
• 摂動解析と陰関数定理を用いて、このような構造の構成的存在証明を提供する。

提案手法

• コアが円板である場合を出発点として、偏極テンソルが消えるようなシェルの配置を、陰関数定理を用いて求める。
• 行列の等方的導電度を持つ中、コアとシェルがそれぞれ分片定数の等方的導電度を持つコア-シェル構造として包含体をモデル化する。
• ポテンシャルの双極子漸近展開を用いて、場の摂動を偏極テンソル（PT）で表現する。
• コアの境界をフーリエ係数でパrameter化し、シェルを円形領域の摂動とみなす。
• 元の円板配置における形状パラメータに関して、偏極テンソルの微分を計算する。
• 偏極テンソル成分のヤコビアンが原点で退化していないことを示し、陰関数定理の適用が可能であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非円形コアを持つ被覆された包含体は、2次元において複数の均一な場に対して弱く中性であるか？
• RQ2 非円形コアの周囲に、偏極テンソルが消えるようなシェルを構成することは可能か？
• RQ3 コアの形状が小さな摂動を受ける場合、偏極テンソルの消滅に対して陰関数定理が適用可能か？
• RQ4 導電度と幾何学的条件が一般形状の包含体に対して弱い中性性を保証するにはどのような条件が必要か？

主な発見

• 円板形状のコアの任意の小さな摂動に対して、それに対応するシェルが存在し、その結果得られる包含体がすべての均一な場に対して弱く中性である。
• 偏極テンソルが消えることは、無限遠方における場の摂動が $ O(|x|^{-2}) $ に減少することと同値であり、これが弱い中性性の条件である。
• 形状パラメータに関する偏極テンソル成分のヤコビアンは、元の円板で非特異であり、陰関数定理による局所的逆写像が保証される。
• 行列の導電度が等方的であり、コアおよびシェルの導電度が等方的スカラーであるという仮定の下で、結果は成り立つ。
• 物理的条件 $ 0 < rac{( ho^2)( ext{ある導電度比})}{1} < 1 $ を満たすすべての導電度に対して、解の存在が保証される。
• 本手法は、明示的な公式ではなく構成的証明を提供するが、一般形状のコアを持つ弱く中性な包含体の存在を示している。