[論文レビュー] Existence of complete Lyapunov functions for semiflows on separable metric spaces

Mauro Patrão|arXiv (Cornell University)|Jul 27, 2011

advanced mathematical theories参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、可分な距離空間上の半フローに対して、完全なリャプノフ関数の存在を、時間1写像の完全なリャプノフ関数 $ \ell $ を用いて $ L(x) = \int_0^1 \ell(\phi^t(x)) \, dt $ と定義する連続関数を構成することで確立する。主な貢献は、従来のコンパクト空間からの拡張として、この広範な空間クラスにおける半フローに対してこのような関数が存在することを示したことである。

ABSTRACT

The aim of this short note is to show how to construct a complete Lyapunov function of a semiflow by using a complete Lyapunov function of its time-one map. As a byproduct we assure the existence of complete Lyapunov functions for semiflows on separable metric spaces.

研究の動機と目的

• コンパクト空間から可分な距離空間への完全なリャプノフ関数の存在の拡張を図ること。
• 時間1写像を用いた構成的手法により、半フローの完全なリャプノフ関数を生成すること。
• 力学系の基本定理を可分な距離空間上の半フローに一般化すること。
• 構成された関数が完全なリャプノフ関数の3つの公理をすべて満たすことを確認すること：単調性、鎖的再帰集合上での像の無重複性、および鎖的トランスティティブ成分としての等高線集合。

提案手法

• 時間1写像 $ \phi^1 $ の完全なリャプノフ関数 $ \ell $ を用いて $ L(x) = \int_0^1 \ell(\phi^t(x)) \, dt $ を定義する。
• コンパクトな $ t \in [0,1] $ における $ \ell \circ \phi^t $ の一様連続性と、有限被覆の議論を用いて $ L $ の連続性を証明する。
• 軌道に沿った $ L $-値の比較を可能にするために、$ L(\phi^s(x)) = \int_s^{1+s} \ell(\phi^t(x)) \, dt $ を示す。
• 半フローと写像の鎖的再帰集合が等しいこと、すなわち $ \mathcal{R}_C(\phi^t) = \mathcal{R}_C(\phi^1) $ を用いて関係を確立する。
• 各 $ c \in \ell(\mathcal{R}_C(\phi^1)) $ に対して $ L^{-1}(c) = \ell^{-1}(c) $ を示し、等高線集合が鎖的トランスティティブ成分であることを保証する。
• 可分な距離空間上の写像に対して完全なリャプノフ関数が存在することを示したHurleyの結果を活用し、$ \ell $ の存在を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間1写像の完全なリャプノフ関数から、半フローの完全なリャプノフ関数を構成できるか？
• RQ2 時間1写像に対して完全なリャプノフ関数が存在することは、可分な距離空間上の半フローに対しても同様に存在することを示唆するか？
• RQ3 半フローとその時間1写像の鎖的再帰集合および鎖的トランスティティブ成分は等価か？
• RQ4 積分構成 $ L(x) = \int_0^1 \ell(\phi^t(x)) \, dt $ は、完全なリャプノフ関数に必要な性質を保つのか？
• RQ5 $ L $ による鎖的再帰集合の像は $[0,1]$ 内で無重複か？

主な発見

• 関数 $ L(x) = \int_0^1 \ell(\phi^t(x)) \, dt $ は、$ X $ から $[0,1]$ への適切に定義された連続関数である。
• $ x \in \mathcal{R}_C(\phi^t) $ のとき、$ t \mapsto L(\phi^t(x)) $ は定数であるが、$ x \notin \mathcal{R}_C(\phi^t) $ のときは厳密に減少する。
• 像 $ L(\mathcal{R}_C(\phi^t)) = \ell(\mathcal{R}_C(\phi^1)) $ は $[0,1]$ 内で無重複であり、完全なリャプノフ関数の重要な要件を満たす。
• 各 $ c \in L(\mathcal{R}_C(\phi^t)) $ に対して、等高線集合 $ L^{-1}(c) $ は $ \ell^{-1}(c) $ に等しく、これは $ \mathcal{R}_C(\phi^t) $ の鎖的トランスティティブ成分である。
• この構成により、$ L $ は完全なリャプノフ関数のすべての3つの公理を満たすことが保証される。
• その結果、可分な距離空間上のすべての半フローに対して完全なリャプノフ関数が存在することが示され、従来のコンパクトな設定からの拡張が達成された。