[論文レビュー] Existence of cscK metrics on smooth minimal models

Zakarias Sjöström Dyrefelt|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2020

Geometry and complex manifolds参考文献 25被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非正則な正則バンドルを備えたコンpakト・カーラー多様体上に定数スカラー曲率ケーラー（cscK）計量の存在を確立し、Jian-Shi-Songの予想を裏付ける。アブンダンス予想に依存しない直接的証明を用いて、 canonical class の近傍におけるケーラー類における Mabuchi Kエネルギーの適切性を示し、すべての滑らかで最小のモデルおよびそのブLOWUPに cscK 計量が存在することを示す。

ABSTRACT

Given a compact Kähler manifold $X$ it is interesting to ask whether it admits a constant scalar curvature Kähler (cscK) metric. In this short note we show that there always exist cscK metrics on compact Kähler manifolds with nef canonical bundle, thus on all smooth minimal models, and also on the blowup of any such manifold. This confirms an expectation of Jian-Shi-Song \cite{JianShiSong} and extends their main result from $K_X$ semi-ample to $K_X$ nef, with a direct proof that does not appeal to the Abundance conjecture. As a byproduct we obtain that the connected component $\mathrm{Aut}_0(X)$ of a compact Kähler manifold with $K_X$ nef is either trivial or a complex torus.

研究の動機と目的

• 非正則な正則バンドルを備えたコンパクト・カーラー多様体上における cscK 計量の存在を解明し、従来の半アーメンから非正則な正則バンドルへの結果の拡張を行う。
• アブンダンス予想に依存しない直接的証明を提供し、射影的および非射影的両方の多様体に適用可能である。
• このような多様体の連結自己同型群 Aut₀(X) が、自明または複素トーラスであることを確立する。
• 滑らかで最小のモデルのブLOWUPに対しても cscK 計量の存在を拡張し、非自明なハミルトニアンベクトル場の不在を示す。
• ケーラー錐内でのエネルギー関数の J-強制性を用いて、幾何的および解析的条件を結びつける cscK 計量の存在を特徴づける。

提案手法

• Mabuchi Kエネルギー汎関数を用い、$-c_1(X)$ が非正則であるような $-c_1(X) + \epsilon[\omega]$ 形式のケーラー類において、$\epsilon > 0$ が十分に小さい場合にその適切性を証明する。
• Chen-Cheng が $\mathcal{E}^1$ の有限エネルギーポテンシャル空間上でエネルギー関数の強制性を扱った道具立てを適用する。
• 強制性を定量化するための数値不変量 $\delta([\omega]) = \delta_1([\omega]) - \delta_2([\omega])$ を導入し、古典的 alpha 不変量と関連付ける。
• エネルギー関数 $E_\omega^\theta$ の J-強制性を $[\theta] = -c_1(X) + \delta([\omega])[\omega]$ に対して確立し、Kエネルギーの適切性を特徴づける。
• 強制性を保証するため、$\delta([\omega]) > 0$ および $\delta([\omega]) \geq \frac{n+1}{n}\alpha_X([\omega])$ を用いる。
• Arezzo-Pacard のブLOWUPに関する結果を適用し、非自明なハミルトニアンベクトル場の不在により、ブLOWUPに対しても cscK 計量が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコンパクト・カーラー多様体 $X$ が非正則な正則バンドルを備える場合、cscK 計量が存在するか？
• RQ2 アブンダンス予想を仮定せずに、cscK 計量の存在を確立できるか？
• RQ3 正則バンドル $-c_1(X)$ が非正則であるコンパクト・カーラー多様体 $X$ に対して、連結自己同型群 $\mathrm{Aut}_0(X)$ の構造は何か？
• RQ4 滑らかで最小のモデルのブLOWUPに対しても cscK 計量が存在するか？
• RQ5 このような多様体において、canonical class の近傍におけるケーラー類における Mabuchi Kエネルギーが $d_1$-適切であることを示せるか？

主な発見

• 任意のコンパクト・カーラー多様体 $X$ に対して $-c_1(X)$ が非正則であるとき、$\epsilon_{X,[\omega]} > 0$ が存在し、任意の $0 < \epsilon < \epsilon_{X,[\omega]}$ に対して、ケーラー類 $-c_1(X) + \epsilon[\omega]$ は一意な cscK 計量を有する。
• このようなクラスのケーラー・ポテンシャル空間上での Mabuchi Kエネルギーは $d_1$-適切であり、これは cscK 計量の存在を示唆する。
• 連結自己同型群 $\mathrm{Aut}_0(X)$ は、Kエネルギーの適切性の結果として、自明または複素トーラスのいずれかである。
• 正則バンドル $-c_1(X)$ が非正則であるコンパクト・カーラー多様体のブLOWUPは、非自明なハミルトニアンベクトル場が存在しないため、cscK 計量を有する。
• 数値不変量 $\delta([\omega])$ は正であり、$\delta([\omega]) \geq \frac{n+1}{n}\alpha_X([\omega]) > 0$ を満たし、エネルギー関数の強制性を保証する。
• 結果は任意の次元の任意のコンパクト・カーラー多様体（射影的または非射影的）に成立し、アブンダンス予想を仮定しない。