[論文レビュー] Existence of extremal functions for a family of Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities

Xuexiu Zhong, Wenming Zou|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$\mathbb{R}^N$ や錐型領域を含む広範なクラスの Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式に対して、極値関数の存在を確立し、広いパラメータ範囲で最良定数が達成されることを示している。さらに、重み付きソボレフ空間が重み付き $L^r$ 空間にコンパクトに埋め込まれるための十分条件を同定し、特異重みを伴う擬線形楕円型方程式の解の存在結果を得ている。

ABSTRACT

Consider the following inequalities due to Caffarelli, Kohn and Nirenberg {\it (Compositio Mathematica,1984):} $$\Big(\int_Ω\frac{|u|^r}{|x|^s}dx\Big)^{\frac{1}{r}}\leq C(p,q,r,μ,σ,s)\Big(\int_Ω\frac{| abla u|^p}{|x|^μ}dx\Big)^{\frac{a}{p}}\Big(\int_Ω\frac{|u|^q}{|x|^σ}dx\Big)^{\frac{1-a}{q}},$$ where $Ω\subset \R^N (N\geq 2)$ is an open set; $p, q, r, μ, σ, s, a$ are some parameters satisfying some balanced conditions. When $Ω$ is a cone in $\R^N$ (for example, $Ω=\R^N)$, we prove the sharp constant $C(p,q,r,μ,σ,s)$ can be achieved for a very large parameter space. Besides, we find some sufficient conditions which guarantee that the following Sobolev spaces $$W_μ^{1,p}(Ω),\; W_μ^{1,p}(Ω)\cap L^p(Ω), \; H^{1,p}(\R^N) $$ are compactly embedded into $L^r(\R^N, \frac{dx}{|x|^s})$ for some new ranges of parameters, where $\displaystyle W_μ^{1,p}(Ω)$ is the completion of $C_0^\infty(Ω)$ with respect to the norm $\displaystyle \Big(\int_Ω\frac{ | abla u|^p}{|x|^μ}dx\Big)^{\frac{1}{p}}. $ As applications, we also study the equation $$\displaystyle -div\Big(\frac{| abla u|^{p-2} abla u}{|x|^μ}\Big)=λV(x)|u|^{q-2}u, \;\;\; u\in W_μ^{1,p}(Ω)$$ under some proper conditions on $V(x)$.

研究の動機と目的

• 錐領域（$\mathbb{R}^N$ を含む）における一般化された Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式族に対する極値関数の存在を確立すること。
• 重み付きソボレフ空間 $W_{\mu}^{1,p}(\Omega)$ が $L^r(\mathbb{R}^N, |x|^{-s}dx)$ にコンパクトに埋め込まれるための十分条件を、新たなパラメータ範囲で同定すること。
• 極値関数の存在を応用し、形式 $-\text{div}\left(\frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u}{|x|^\mu}\right) = \lambda V(x)|u|^{q-2}u$ の特異重みを伴う擬線形楕円型方程式の解の存在を検討すること。

提案手法

• Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式に対する極値関数の存在を解析するための対称化法と変分法の使用。
• 元の不等式をパラメータ $\mu, \sigma, \alpha, \beta$ および $\gamma = a\sigma + (1-a)\beta$ を含む重み付きノルムの形に変換すること。
• Rellich-Kondrachov の定理とコンパクト埋込みの基準を適用し、重み付き $L^r$ 空間への埋込みのコンパクト性を確立すること。
• 変分法を適用するためのエネルギー関数の正当性を保証するため、ポテンシャル $V(x)$ に関する一般仮定 $(H)$ を導入すること。
• Nehari 多様体法とエネルギー推定を用いて、エネルギーが制御された解の列を構成すること。
• 異なる領域タイプ（有界、有限測度、または特定の減衰を示すもの）に対して、$V(x) = |x|^{-\sigma}$ の場合に仮定 $(H)$ を満たすための可積分性条件の検証。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{R}^N$ や錐領域において、Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式の最良定数が極値関数によって達成されるパラメータ条件は何か？
• RQ2 どの範囲の $p, q, r, \mu, \sigma, s$ に対して、埋込み $W_{\mu}^{1,p}(\Omega) \hookrightarrow L^r(\mathbb{R}^N, |x|^{-s}dx)$ がコンパクトになるか？
• RQ3 方程式 $-\text{div}\left(\frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u}{|x|^\mu}\right) = \lambda |x|^{-\sigma}|u|^{q-2}u$ がエネルギーが制御された非自明な解の列をもつのはどのような場合か？
• RQ4 $V(x)$ にどのような条件を課すと、変分法を適用する際に必要な仮定 $(H)$ が成立するか？
• RQ5 非線形項における $q$ と $p$ の相対的な大きさに応じて、解の列の漸近的挙動はどのように変化するか？

主な発見

• $\Omega$ が錐領域（$\mathbb{R}^N$ を含む）である場合、標準的なバランス条件と有界性条件の下で、Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式の最良定数が広いパラメータ空間で極値関数によって達成される。
• 特に $\mu + p < N$ かつ $\sigma < \mu + p$ のとき、$W_{\mu}^{1,p}(\Omega)$ から $L^r(\mathbb{R}^N, |x|^{-s}dx)$ へのコンパクト埋込みが新たなパラメータ範囲で確立される。
• $q = p$ のとき、方程式 $-\text{div}\left(\frac{|\nabla u|^{p-2}\nabla u}{|x|^\mu}\right) = \lambda |x|^{-\sigma}|u|^{p-2}u$ は、$\lambda_n \to \infty$ となる固有値の列をもつ。
• $q > p$ のとき、解のエネルギー $c_n \to \infty$ となる解の列が存在するが、$q < p$ のときはエネルギーが $c_n \to 0$ に収束する。
• $V(x) = |x|^{-\sigma}$ は、適切なパラメータ制約の下で、有界領域および有限測度領域の両方で仮定 $(H)$ を満たし、変分法の適用が可能になる。
• 極値関数の存在とコンパクト埋込みの成立により、Nehari 多様体上の臨界点理論を用いて、擬線形方程式に対して無限個の解を構成できる。