[論文レビュー] Existence of fixed points for a particular multifunction

Biagio Ricceri|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2010

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、無限次元の弱反復的バナッハ空間 $E$ が Kadec-Klee 性質を持つとき、その単位球面 $S$ 上のコンパクト写像から導かれる特定の多価関数に対して、固定点の存在を確立する。ファン＝カクトゥニの固定点定理を、上半連続な多価関数と連続なリトラクションの合成に適用することで、条件 $\inf_{x\in S}\|f(x)\|_{E^*} > 0$ の下で、$\hat{x} \in S$ が存在して $f(\hat{x})(\hat{x}) = \|f(\hat{x})\|_{E^*}$ を満たすことを証明する。

ABSTRACT

We prove a fixed point theorem for a particular multifunction from the unit sphere of a reflexive Banach space with the Kadec-Klee property into itself.

研究の動機と目的

• 弱反復的バナッハ空間の単位球面上の連続的コンパクト写像 $f: S \to E^*$ が、$f(\hat{x})(\hat{x}) = \|f(\hat{x})\|_{E^*}$ を満たす点 $\hat{x} \in S$ をもつような条件を確立すること。
• このような点の存在を保証するための Kadec-Klee 性質の必要性を検討すること。
• 弱反復性、$f$ のコンパクト性、および $\inf_{x\in S}\|f(x)\|_{E^*} > 0$ の下限条件の組み合わせが解の存在を保証することを示すこと。
• ファン＝カクトゥニの定理を用いた多価関数枠組みにおいて、上半連続性と凸性の役割を明らかにすること。
• 上記の条件下で、固定点性質を保証するために Kadec-Klee 性質が必要かどうかというより広範な問題を提起すること。

提案手法

• 問題を多価関数 $\Phi_f(x) = \{y \in S : f(x)(y) = \|f(x)\|_{E^*}\}$ の固定点の特定に変換する。
• 多価関数 $\Psi: E^* \setminus \{0\} \to 2^S$ を $\Psi(\varphi) = \{x \in S : \varphi(x) = \|\varphi\|_{E^*}\}$ で定義し、弱収束と Kadec-Klee 性質を用いてその上半連続性を証明する。
• エーベルライン–シュミュリアンの定理を用いて、$S$ の弱コンパクトな部分集合が Kadec-Klee 性質のもとでノルムコンパクトであることを示し、$\varphi \neq 0$ のとき $\Psi(\varphi)$ がコンパクトであることを保証する。
• 閉単位球体 $B$ と $S$ 上で恒等的に作用するリトラクション $\omega: B \to S$ を用いて、コンパクトな凸集合 $Y$ 上で $G(x) = \Psi(f(\omega(x)))$ を定義する。
• 上半連続で空でなく、閉かつ凸な値をとる多価関数 $G: Y \to 2^Y$ にファン＝カクトゥニの固定点定理を適用し、$\hat{x} \in Y$ が $\hat{x} \in G(\hat{x})$ を満たす固定点を得る。
• 特に $\hat{x} \in S$ ならば $\omega(\hat{x}) = \hat{x}$ であるから、$\hat{x} \in \Phi_f(\hat{x})$ が成り立ち、望みの等式が満たされる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 弱反復的バナッハ空間 $E$ に対して、$\inf_{x\in S}\|f(x)\|_{E^*} > 0$ を満たす任意のコンパクト写像 $f: S \to E^*$ が、$f(\hat{x})(\hat{x}) = \|f(\hat{x})\|_{E^*}$ を満たす点 $\hat{x} \in S$ をもつような条件は何か？
• RQ2 $E$ が無限次元かつ弱反復的であるとき、このような固定点の存在を保証するために Kadec-Klee 性質は必要か？
• RQ3 弱反復的かつ Kadec-Klee 性質を持つ空間であっても、$f$ のコンパクト性がなければ固定点性質は保証されるか？
• RQ4 ノルムを達成する多価関数 $\Psi$ の上半連続性は、存在証明においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 $S$ 上で恒等的に作用するリトラクション $\omega: B \to S$ が存在する場合、この設定で固定点定理の適用が可能になるか？

主な発見

• 本稿では、$E$ が無限次元の弱反復的実バナッハ空間であり、Kadec-Klee 性質を持つとき、$f: S \to E^*$ がコンパクトで $\inf_{x\in S}\|f(x)\|_{E^*} > 0$ ならば、$f(\hat{x})(\hat{x}) = \|f(\hat{x})\|_{E^*}$ を満たす $\hat{x} \in S$ が存在することを証明している。
• 多価関数 $\Psi: E^* \setminus \{0\} \to 2^S$ を $\Psi(\varphi) = \{x \in S : \varphi(x) = \|\varphi\|_{E^*}\}$ で定義すると、これは上半連続であることが示され、証明の重要なステップである。
• Kadec-Klee 性質と弱反復性により、$K = \overline{f(S)}$ が $0$ を含まずコンパクトであるとき、$\Psi(K)$ は $S$ 内でコンパクトである。
• 合成 $G(x) = \Psi(f(\omega(x)))$ は、コンパクトな凸集合 $Y$ から自身への上半連続な多価関数であり、空でなく、閉かつ凸な値をとる。
• ファン＝カクトゥニの固定点定理により、$\hat{x} \in Y$ が $\hat{x} \in G(\hat{x})$ を満たす固定点が保証され、$\hat{x} \in S$ ならば $\hat{x} \in \Phi_f(\hat{x})$ も成立する。
• 本稿では、$E$ の無限次元性または $f$ のコンパクト性を除いた場合に結果が成り立たない反例を提示しており、条件 (1) が必要であることも示している。