[論文レビュー] Existence of Gibbs measures relative to Brownian motion

Volker Betz|ArXiv.org|Jul 25, 2001

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 16被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、ポテンシャル関数に弱い条件を課した場合でも、ブラウン運動を基準とする無限体積ギブス測度の存在を確立する。ペairポテンシャル $W$ に対して停止時刻推定と一様可積分性条件を導入することで、$V$ が無限大で成長しない場合でも存在を示しており、質量なしネルソン模型などに応用可能であり、経路のフラクチュエーションの上限が得られる。

ABSTRACT

We prove existence of infinite volume Gibbs measures relative to Brownian motion. We require the pair potential W to fulfill a uniform integrability condition, but otherwise our restrictions on the potentials are relatively weak. In particular, our results are applicable to the massless Nelson model. We also prove an upper bound for path fluctuations under the infinite volume Gibbs measures.

研究の動機と目的

• ポテンシャル $V$ に対して強い成長性や凸性の仮定がない状況でも、ブラウン運動を基準とする無限体積ギブス測度の存在を確立すること。
• 先行研究と比較して、ペアポテンシャル $W$ に課す制約を弱める。一様可積分性と経路ごとのシフト条件のみを要件とすること。
• $V$ が無限大で成長しない質量なしネルソン模型などのモデルにまで、ギブス測度の存在を拡張すること。
• 無限体積ギブス測度のもとでの経路フラクチュエーションの上界を提供し、無限大における典型的な経路行動を特徴づけること。
• 極限測度 $\mu$ がブラウン運動を基準とするギブス測度であり、ギブス系の条件付き確率構造を満たしていることを示すこと。

提案手法

• 経路の成長を制御し、有限体積測度のtightnessを確立するために、停止時刻推定を用いる。
• $W$ に対して、$C(\bbR, \bbR^d)$ 内のすべての経路に一様に成り立つ一様可積分性条件を適用し、相互作用エネルギーの制御を保証する。
• $W$ に対して、経路ごとのシフト条件を用いる。これは明示的ではないが、多くの具体例で検証可能であり、凸性や小スケール結合定数といった強い仮定に代わる。
• シュレーディンガー作用素 $H_0 = -\frac{1}{2}\Delta + V$ の基底状態 $\psi_0$ の存在に依存し、定常な基準測度を構成する。
• 対角列の議論と弱収束を用いて、有限体積測度 $\mu_T^{y,z}$ の無限体積クラスターポイント $\mu$ を抽出する。
• ボレル・カンテリの補題と $\mu$ の定常性を用いて、$\psi_0$ の減衰に依存する経路成長の上限を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $V$ や $W$ にどのような条件を課すと、$V$ が無限大で成長しない場合でも、ブラウン運動を基準とする無限体積ギブス測度が存在するか？
• RQ2 $V$ の凸性、$W$ の小スケール結合定数、$V$ の微分可能性を要件としないで、このようなギブス測度の存在を示せるか？
• RQ3 無限体積ギブス測度のもとでの典型的な経路行動（フラクチュエーションスケール）は何か？ また、基底状態 $\psi_0$ の減衰とどのように関係するか？
• RQ4 極限測度 $\mu$ はブラウン運動を基準とするギブス測度であるか？ すなわち、$W$ に関する条件付き確率構造を満たすか？
• RQ5 本手法は、$V(x) = -1/|x|$ で $W$ が長距離型である質量なしネルソン模型といった物理的に重要なモデルに適用可能か？

主な発見

• 無限体積ギブス測度 $\mu_\infty$ は、$W$ に対して一様可積分性条件と経路ごとのシフト条件を満たせば、$V$ が無限大で成長しない場合でも存在する。
• 本手法は、$V(x) = -1/|x|$ で $W(x,y,t) = -1/(|x-y|^2 + t^2 + 1)$ である質量なしネルソン模型に適用可能であり、必要な条件を満たす。
• 経路フラクチュエーションの上界が確立される：$\mu$-ほとんど確実な経路 $x$ に対して、$\sum_{n=1}^\infty \int_{|y|>f(n)} \psi_0(y)\,dy < \infty$ ならば、$\limsup_{|t|\to\infty} \frac{|x_t|}{f(|t|)} \leq 1$ が成り立つ。
• $\psi_0(y) \leq A \exp(-\beta|y|^{s+1})$ のとき、上界は $\limsup_{|t|\to\infty} \frac{|x_t|}{(\gamma \ln|t|)^{s+1}} = 0$（$\gamma > 1/\beta$）に簡略化され、遅い経路成長を特徴づける。
• 極限測度 $\mu$ はブラウン運動を基準とするギブス測度であり、$\mu(\cdot \mid \mathcal{T}_S) = \mu^{S,\bar{x}}$ 几乎確実に成り立つ。
• クラスターエキスパンションや相関不等式、小スケール結合定数を必要としないため、先行手法よりも一般性が高く、より広い範囲に適用可能である。