[論文レビュー] Existence of global weak solution for compressible fluid models with a capillary tensor for discontinuous interfaces

Boris Haspot|ArXiv.org|Mar 13, 2008

Navier-Stokes equation solutions参考文献 14被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、拡散界面アプローチから導かれた非局所的Korteweg型キャピラリティ項を有する圧縮性キャピラリティ流体モデルに対して、大規模な初期データおよび無限遠における減衰条件のもとで、グローバルな弱解の存在を確立する。エネルギー推定と重み付きエネルギー空間におけるコンパクトネスの議論を用いて、等エントロピーおよび一般の圧力則（ヴァン・デル・ワールス型方程式を含む）におけるグローバル安定性を証明する。

ABSTRACT

This work is devoted to the global existence of weak solution for a general isothermal model of capillary fluids derived by C. Rohde, which can be used as a phase transition model. This article is structured in the following way: first of all inspired by the result by P.-L. Lions on the Navier-Stokes compressible system we will show the global stability of weak solutions for our system with isentropic pressure and next with general pressure. Next we will consider perturbations close to a stable equilibrium as in the case of strong solutions.

研究の動機と目的

• 非局所的キャピラリティ項を有する圧縮性キャピラリティ流体モデルに対するグローバルな弱解の存在および安定性を確立すること。
• 等エントロピー仮定を超えて、一般の圧力則（ヴァン・デル・ワールス方程式を含む）に対してもグローバル安定性理論を拡張すること。
• 大規模な初期データおよび無限遠における減衰条件を扱い、解がグローバルに定義されたままであることを保証すること。
• 非標準的なグローバルキャピラリティエネルギー項を有するエネルギー空間におけるコンパクトネスを証明すること。
• 鋭い界面を許容する拡散界面アプローチを用いて、モデルの相転移現象への適用可能性を検証すること。

提案手法

• 非局所キャピラリティ項として $ D[\rho] = \phi * \rho - \rho $ を用い、ここで $ \phi \in L^\infty \cap C^1 \cap W^{1,1} $、$ \int \phi = 1 $、$ \phi \geq 0 $、かつ偶関数である。
• 自由エネルギー $ \Pi(\rho) = \rho \int_0^\rho \frac{P(z)}{z^2} dz $ を含むエネルギー推定を適用し、熱力学的整合性と凸性を保証する。
• 非局所界面効果を捉えるグローバルキャピラリティエネルギー項 $ E_{\text{global}}[\rho] = \frac{\kappa}{4} \int \phi(x-y)(\rho(y) - \rho(x))^2 dy $ を導出する。
• 領域が有界でない場合の部分積分の正当化および局所化のため、切断関数 $ \varphi_R(x) = \varphi(x/R) $ を用いる。
• 一様な $ \sqrt{f} $ および $ f \in L^\infty(0,T;L^2) $ の有界性を用いて、$ L^2 $ および $ L^4 $ 空間における弱収束を介し、コンパクトネスを確立する。
• テスト関数を用いた局所化された質量および密度連続の方程式を用いて、$ \rho_n \to \rho $ が $ C([0,T]; L^1(B_R)) $ で収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所的Korteweg型キャピラリティ項および一般の圧力則を有する圧縮性キャピラリティ流体に対して、グローバルな弱解が存在しうるか。
• RQ2 非局所キャピラリティ項は、鋭い界面を有する解を保ちつつグローバル安定性を維持できるか。
• RQ3 大規模な初期データおよび非等エントロピー圧力則（例：ヴァン・デル・ワールス）に対しても、グローバル存在結果を拡張できるか。
• RQ4 非局所作用素および非有界領域を含むエネルギー空間において、コンパクトネスをどのように確立できるか。
• RQ5 平衡状態近傍における摂動に対して解は安定的か、また局所的 $ L^1 $-型位相で収束を証明できるか。

主な発見

• 等エントロピー圧力 $ P(\rho) = a\rho^\gamma $、$ \gamma \geq 1 $ を有する NSK系に対して、大規模な初期データおよび無限遠における減衰条件のもとで、グローバルな弱解が存在する。
• 非局所キャピラリティ項 $ \kappa \rho \nabla(\phi * \rho - \rho) $ は、連続的な密度変化を伴う相転移のモデル化を可能にし、密度勾配の不連続性を有する解を許容する。
• グローバルキャピラリティエネルギー $ E_{\text{global}}[\rho] $ は符号を除き時間に関して保存され、部分積分および連続の方程式を用いてその時間微分が制御される。
• 局所化された質量方程式および $ \varphi \sqrt{\rho_n} $ の $ L^2 $ における弱収束を用いて、任意の $ R, T > 0 $ に対して $ \rho_n $ の $ C([0,T]; L^1(B_R)) $ におけるコンパクトネスが証明される。
• 極限解は分布の意味で運動量方程式を満たし、コンパクト集合上で $ \rho_n $ から $ \rho $ への収束は $ L^1 $ で強い収束である。
• 切断関数および $ f = \rho_n - \rho $ に対する $ L^\infty $-型推定を用いることで、キャピラリティ項の正則性欠如に対処し、$ R \to \infty $ の際に境界項が消えることを保証する。