[論文レビュー] Existence of Global Weak Solutions for 2D Shallow Water Equations with its degenerate viscosity

Alexis Vasseur, Cheng Yu|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2015

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、非圧縮性粘性項が退化する3次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、Bresch-Desjardinsのエントロピー枠組みを用いて、大域的弱解の存在を確立する。初期近似段階で成立しないにもかかわらず、弱解に対してMellet-Vasseur型の不等式を導出することで、Lionsが提起した任意のγ > 1および大規模な初期データ（真空中を含む）に対する未解決問題を解決する。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence of global weak solutions for 3D compressible Navier-Stokes equations with degenerate viscosity. The method is based on the Bresch and Desjardins entropy conservation. The main contribution of this paper is to derive the Mellet-Vasseur type inequality for the weak solutions, even if it is not verified by the first level of approximation. This provides existence of global solutions in time, for the compressible Navier-Stokes equations, for any $\gamma>1$, in three dimensional space, with large initial data possibly vanishing on the vacuum. This solves an open problem proposed by Lions.

研究の動機と目的

• 3次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、非圧縮性粘性項が退化する場合の、大域的弱解の存在を確立すること。
• Lionsが提起した、大規模な初期データおよび真空中を含む解の存在に関する未解決問題に取り組むこと。
• 初期近似段階で満たされない場合でも、弱解に対してMellet-Vasseur型不等式を拡張すること。
• 3次元において、任意のγ > 1に対して、真空中を含む場合も含めた解の存在を示すこと。
• エントロピー保存構造を用いて、非圧縮性粘性項が退化する圧縮性粘性流れの厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 解の挙動を制御するために、BreschとDesjardinsのエントロピー保存構造を用いる。
• 初期近似段階で不等式が成立しなくても、弱解に対してMellet-Vasseur型不等式を導出する。
• エントロピーとエネルギー構造に基づく事前推定を用いて、L∞(L2)およびL2(H1)空間における解の制御を行う。
• 真空中の取り扱いのために、非圧縮性粘性項が退化する流れのための粘性正則化法を採用する。
• 近似スキームにおける極限への移行にあたり、コンパクト性の議論と弱収束の技法を用いる。
• 運動量方程式と圧力則の構造を活用して、粘性項の退化に依存しない一様な境界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非圧縮性粘性項が退化する3次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、大域的弱解を確立できるか？
• RQ2 初期近似段階で不等式が満たされない場合でも、弱解に対してMellet-Vasseur型不等式を導出できるか？
• RQ3 Bresch-Desjardinsのエントロピー枠組みは、真空中に存在する場合の解の存在を可能にするか？
• RQ4 非圧縮性粘性項が退化する3次元において、任意のγ > 1に対して解の存在を拡張できるか？
• RQ5 粘性項が真空中で退化する場合、エントロピー構造をどのように活用して解を制御できるか？

主な発見

• 任意のγ > 1に対して、非圧縮性粘性項が退化する3次元圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対して、大域的弱解が存在する。
• 初期近似段階で不等式が満たされない場合でも、弱解に対してMellet-Vasseur型不等式が成功裏に導出された。
• 解の枠組みは、初期密度が一部の領域で消える（真空中を含む）大規模な初期データを扱える。
• Bresch-Desjardinsのエントロピー構造により、コンパクト性と収束に不可欠な一様推定が可能である。
• Lionsが提起した、真空中を含む圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に対する長年の未解決問題が解決された。
• 本手法は、非圧縮性粘性項が退化する圧縮性流体力学における真空中の取り扱いに、強固な枠組みを提供する。