[論文レビュー] Existence of infinitely many solutions for the fractional Schrödinger- Maxwell equations

Zhongli Wei|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、変分法および臨界点理論を用いて、$\mathbb{R}^3$ における分数階シュレーディンガー＝マクスウェル方程式系に対して、非自明な解が無限に存在することを確立する。ポテンシャル $V(x)$ および非線形項 $f(x,u)$ に対して、漸近的成長および対称性に関する適切な仮定を課すことにより、フーファン定理を用いて、$\alpha \in (0,1]$ の分数階ラプラシアン設定へ結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, by using variational methods and critical point theory, we shall mainly study the existence of infinitely many solutions for the following fractional Schrödinger-Maxwell equations $$( -Δ)^α u+V(x)u+ϕu=f(x,u), \hbox{in } \mathbb{R}^3 ,$$ $$ (- riangle)^αϕ=K_α u^2 \ \ \mathrm{in}\ \ \mathbb{R}^3 $$ where $α\in (0,1],$ $K_α=\dfrac{π^{-α}Γ(α)}{π^{-(3-2α)/2}Γ((3-2α)/2)},$ $( -Δ)^α$ stands for the fractional Laplacian. Under some more assumptions on $f,$ we get infinitely many solutions for the system.

研究の動機と目的

• $\mathbb{R}^3$ における分数階シュレーディンガー＝マクスウェル方程式系に対して、非自明な解が無限に存在することを確立すること。
• $\alpha \in (0,1]$ の分数階ラプラシアン設定へフーファン定理の枠組みを拡張すること。
• $V(x)$ に対する強制性を保証する条件および $f(x,u)$ に対する適切な成長および対称性を満たす条件の下で、系を分析すること。
• 関連エネルギー汎関数に対する有界でない臨界値の列の存在を証明すること。

提案手法

• 変分法および臨界点理論、特にフーファン定理を用いて、系に関連するエネルギー汎関数を研究する。
• フーリエ変換を用いた分数階ラプラシアンの定義：$\mathcal{F}((-\Delta)^\alpha u)(\xi) = |\xi|^{2\alpha} \mathcal{F}(u)(\xi)$。
• 特異積分表現を用いる：$(-\Delta)^\alpha u(x) = c_{3,\alpha} \, \mathrm{P.V.} \int_{\mathbb{R}^3} \frac{u(x) - u(y)}{|x-y|^{3+2\alpha}} \, dy$。
• $2 \leq r < 2_\alpha^*$ に対して、$H^\alpha(\mathbb{R}^3)$ から $L^r(\mathbb{R}^3)$ へのコンパクト埋め込みを確立する。ここで $2_\alpha^* = \frac{6}{3-2\alpha}$ である。
• セラミ条件の検証、汎関数の対称性、および有限次元および無限次元部分空間における汎関数の挙動を確認することで、フーファン定理を適用する。
• フーファン定理の枠組みを適用するために、$E = Y_m \oplus Z_m$（$Y_m$ は有限次元、$Z_m$ は無限次元）の分解を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $V(x)$ および $f(x,u)$ に対してどのような条件下で、分数階シュレーディンガー＝マクスウェル系に非自明な解が無限に存在するか。
• RQ2 $f(x,u)$ の漸近的成長および対称性の性質が、複数の解の存在にどのように影響するか。
• RQ3 フーファン定理を $\alpha \in (0,1]$ の分数階シュレーディンガー＝マクスウェル系に適用して、無限に多くの解の存在を証明できるか。
• RQ4 非線形項 $f(x,u)$ の無限大における挙動が、有界でない臨界値の列の存在を保証するために果たす役割は何か。

主な発見

• 仮定 $(\mathbb{V})$、$(\mathbb{H}_1)$--$(\mathbb{H}_4)$ の下で、$V(x)$ の強制性および $f$ に対する特定の成長条件を満たす場合、系は非自明な解を無限に持つ。
• エネルギー汎関数はすべての $c > 0$ に対してセラミ条件を満たす。これはフーファン定理の適用に不可欠である。
• 無限次元部分空間 $Z_m$ 上で汎関数は下から有界であり、ある $\rho > 0$ に対して、球面 $\partial B_\rho \cap Z_m$ 上で正の下限値を達成する。
• 任意の有限次元部分空間 $\widetilde{E} \subset E$ に対して、$\|u\| \to \infty$ のとき $J(u) \to -\infty$ となる。これによりフーファン構造が保証される。
• $H^\alpha(\mathbb{R}^3)$ から $L^r(\mathbb{R}^3)$ への埋め込みは $2 \leq r < 2_\alpha^*$ に対してコンパクトであり、これは証明に不可欠である。
• 結果は $\alpha > \frac{3}{4}$ の場合に成立し、これにより臨界指数 $2_\alpha^* = \frac{6}{3-2\alpha}$ が適切に定義され、4より大きくなる。