[論文レビュー] Existence of isoperimetric regions in sub-Finsler nilpotent groups

Julián Pozuelo|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 2021

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、拡大作用が不要なサブ・フィン슬ァー・ノルムを備えた可解的ノルムを備えたノルム的ニールポテンツ群における等周領域の存在を確立している。これは、Carnot群におけるLeonardiとRigotの結果を一般化したものである。一様な変形補題を証明し、幾何的測度論的手法を活用することで、等周プロファイルが非減少的で、局所リプシッツ的かつ劣加法的であり、等周領域が有界で、位相的境界と本質的境界が一致することを示した。

ABSTRACT

We consider a nilpotent Lie group with a bracket-generating distribution $\hhh$ and an asymmetric left-invariant norm $\|\cdot\|_K$ induced by a convex body $K\subseteq\hhh$ containing $0$ in its interior. In this paper we prove the existence of minimizers of the perimeter functional $P_K$ associated to $\|\cdot\|_K$ under a volume (Haar measure) constraint. Our result generalizes the one of Leonardi and Rigot for Carnot groups.

研究の動機と目的

• 拡大作用が要求されるCarnot群の設定とは異なり、すべての体積に対して等周領域の存在を確立すること。
• Carnot群におけるLeonardiとRigotの存在結果を、原点を含む凸体によって誘導される非対称ノルムを備えたより広いクラスのサブ・フィン슬ァー可解的ノルム群に一般化すること。
• 等周領域が有界であり、その位相的境界と本質的境界が一致することを示し、Carnot群における構造的性質を拡張すること。
• 等周プロファイルの正則性特性を確立すること。具体的には、非減少性、局所リプシッツ連続性、劣加法性を含む。
• 質量が無限遠で消失するのを防ぎ、最小化列におけるコンパクト性を保証するため、一様な変形補題を構築し、それを適用すること。

提案手法

• GalliとRitoréの戦略を拡張し、体積の増加を制御しつつ境界の増加を抑えられる変形補題（補題3.6）を構成する。
• 括弧生成性を持つ分布と原点を含む凸体によって誘導される非対称ノルムを備えた可解的リー群の内在的幾何を用いる。
• K-境界長さを、K-ノルムで有界なベクトル場との双対性によって定義し、Finsler境界長さをサブリーマンドン設定に一般化する。
• 有限境界長さ集合列のL^1_{\text{loc}}収束とコンパクトネスの議論を用いて、極限集合を抽出する。
• 一様版の変形補題（補題4.5）を用いて、体積と境界長さのトレードオフを一様に制御し、等周プロファイルの正則性を証明する。
• Carnot群理論におけるAhlfors正則性と条件Bを、拡大作用を必要としないサブ・フィン슬ァー設定に適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サブ・フィン슬ァー可解的ノルム群において、拡大作用が存在しない場合でも、すべての体積に対して等周領域が存在するか？
• RQ2 最小化列において無限遠での質量損失を防ぎ、体積増加と境界増加を制御するため、変形補題を一様に適用できるか？
• RQ3 サブ・フィン슬ァー可解的ノルム群における等周領域は有界であり、その位相的境界と本質的境界が一致するか？
• RQ4 この設定における等周プロファイル $I_K(v)$ がどのような正則性を有するか？
• RQ5 等周プロファイルは劣加法的かつ局所リプシッツ連続的か？

主な発見

• 等周プロファイル $I_K(v)$ は非減少的である。これは命題3.1で示された。
• 等周プロファイルは、一様な変形補題（補題4.5）と系4.6により、局所リプシッツ連続的である。
• 等周プロファイルは、等周領域の不交和を用いた系4.4の証明により、劣加法的である。
• 等周領域は有界であり、その位相的境界と本質的境界が一致する。これは定理3.10および3.11で確立された。
• 変形補題（補題3.6）により、任意の有限 $K$-境界長さ集合は、境界長さの増加を制御しつつ、体積を増加させることで変形可能である。
• すべての体積に対して等周領域の存在が定理4.3で証明され、これはLeonardiとRigotの結果をCarnot群を超えて拡張した。