[論文レビュー] Existence of localised normal modes in nonlinear lattices

D. Hennig|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2015

Nonlinear Photonic Systems被引用数 25

ひとこと要約

本稿では、軟らかめまたは硬めの局所的ポテンシャルを有する1次元非線形Klein-Gordon格子系において、通常モードに類似した時間周期的かつ空間的に局在化した解の存在を証明する。微分方程式の比較原理を用いて、各格子点における振動振幅が補助的な線形方程式の解の間で有界であることを示し、線形フォノン帯域端のわずかに下（上）の周波数で、同位相（軟らかめ）または逆位相（硬め）のブレーターが存在することを示している。

ABSTRACT

We prove the existence of exponentially localised and time-periodic solutions in general nonlinear Hamiltonian lattice systems. Like normal modes, these localised solutions are characterised by collective oscillations at the lattice sites with a uniform time-dependence. The proof of existence uses the comparison principle for differential equations to demonstrate that at each lattice site every half of the fundamental period of oscillations, contributing to localised solutions of the nonlinear lattice, is sandwiched between two oscillatory states of auxiliary linear equations. For soft (hard) on-site potentials the allowed frequencies of the in-phase (out-of-phase) localised periodic solutions lie below (above) the lower (upper) value of the linear spectrum of phonon frequencies. By varying a control parameter the exponential decay of the localised states can be tuned continuously.

研究の動機と目的

• 一般の非線形ハミルトニアンKlein-Gordon格子系において、空間的に局在化した時間周期的解の存在を確立すること。
• このような解—通常モードに類似—が線形フォノンスペクトルの端付近で均一な時間依存振動を示す条件を分析すること。
• 軟らかめの局所的ポテンシャルと硬めの局所的ポテンシャルにおける解の挙動を区別すること、特にフォノン帯域に対する周波数局在化の観点から。
• 反連続限界およびフォノン帯域端付近でのブレーター分布の数値的解析を通じて、均一な時間依存性の近似の妥当性を検証すること。

提案手法

• 常微分方程式の比較原理を適用し、各格子点における振動振幅が2つの補助線形方程式の解の間で有界であることを示す。
• 非線形Klein-Gordon格子のハミルトニアン構造を用い、$ U(0) = U'(0) = 0 $、$ U''(0) > 0 $ を満たす解析的かつ対称的な局所的ポテンシャルを仮定する。
• 屈曲点および曲率の性質に基づき、周波数が振幅とともに低下する（軟らかめ）か増加する（硬め）かによってポテンシャルを分類する。
• 整数 $ m $ に対して $ m\omega_b \neq \omega_{ph} $ が成り立つ条件を導出し、基本ブレーター周波数 $ \omega_b $ が線形フォノン周波数と共振しないようにする。
• 正確な解と近似解の間の $ L^\infty $ および $ L^2 $ 相対ノルム係数 $ N_\infty $ と $ N_2 $ を用いて、均一な時間依存性近似の精度を数値的に評価する。
• 反連続限界およびフォノン帯域端付近での近似の妥当性を検証するため、サイン・ゴードンおよび $ \phi^4 $ ポテンシャルの数値的シミュレーションを実施し、ブレーター分布を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軟らかめまたは硬めの局所的ポテンシャルを有する一般の非線形Klein-Gordon格子系において、時間周期的かつ空間的に局在化した解が存在するか？
• RQ2 これらの局在化解が、格子点全体でほぼ均一な時間依存振動を示す条件は何か？
• RQ3 軟らかめおよび硬めのポテンシャルにおいて、同位相および逆位相のブレーターの周波数は、線形フォノンスペクトルの端にどのように関係するか？
• RQ4 フォノン帯域端付近のブレーターに対して、均一な時間依存性近似はどの程度有効か？
• RQ5 有効性係数 $ N_\infty $ および $ N_2 $ は、結合強度 $ \kappa $ およびブレーター周波数 $ \omega_b $ に依存してどのように変化するか？

主な発見

• 微分方程式の比較原理を用いた厳密な証明により、非線形KG格子系における局在的で時間周期的な解の存在が示された。
• 軟らかめのポテンシャルでは、線形フォノン帯域下端のわずかに下で同位相の局在解が存在する。硬めのポテンシャルでは、帯域上端のわずかに上での逆位相解が存在する。
• 数値的解析により、フォノン帯域端付近の周波数を持つブレーターが（実質的に）均一な時間依存性を示すことが確認され、存在証明で用いられた近似が妥当であることが裏付けられた。
• 有効性係数 $ N_\infty $ および $ N_2 $ は反連続限界（$ \kappa = 0 $）で最小化され、$ \omega_b $ がフォノン帯域端に近づくにつれて減少する。
• サイン・ゴードンポテンシャルでは、$ N_\infty $ および $ N_2 $ は中間の結合強度で相対的極大値を示すが、$ \phi^4 $ ポテンシャルでは $ \kappa $ の増加に従い単調に減少し、帯域端でゼロに達する。
• 極端な状況（例：$ \omega_b = 0.99 $、$ \kappa = 1.95 $）では、近似誤差は $ N_\infty = 0.0017 $ にまで低下し、正確な解と近似解の間で極めて良好な一致が得られた。