[論文レビュー] Existence of mild solutions to Hilfer fractional evolution equations in Banach space

J. Vanterler da C. Sousa|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2018

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、バナッハ空間における非即時インパルスを伴うヒルファ分数進化方程式に対して、等連続な $C_0$-半群とカラトウスキの非コンパクト性測度を用いて、弱い解の存在を確立する。集合の収縮条件における不動点理論を適用することで、非線形項およびインパルス関数に適切なリプシッツ連続性とコンパクト性仮定を課した下で、少なくとも一つの $\mathbf{PC}_{1-\gamma}$-弱い解の存在を証明する。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the existence of mild solutions to Hilfer fractional equation of semi-linear evolution with non-instantaneous impulses, using the concepts of equicontinuous $C_{0}$-semigroup and Kuratowski measure of non-compactness in Banach space $Ω$.

研究の動機と目的

• バナッハ空間における非即時インパルスを伴う新しいクラスの半線形ヒルファ分数進化方程式の弱い解の存在を調査すること。
• ヒルファ微分と非即時インパルスを組み込むことで、既存の分数階微分方程式の結果を拡張すること。
• カラトウスキの非コンパクト性測度と等連続な半群を用いて、より弱いコンパクト性仮定の下で解の存在を確立すること。
• 記憶と急激な状態変化を伴う複雑な動的システムのモデリングのための理論的基盤を提供すること。

提案手法

• ヒルファ分数階微分と $C_0$-半群の無限小生成作用素を含む積分表現に基づく弱い解の定義を用いる。
• 解集合の相対的コンパクト性を $\mathbf{PC}_{1-\gamma}$ 空間で分析するために、カラトウスキの非コンパクト性測度を用いる。
• $k$-集合収縮作用素を用いたサドフスキーの不動点定理を適用し、閉かつ有界で凸な部分集合内での不動点の存在を証明する。
• 解作用素を二つの部分に分解する：一つは半群に依存し、もう一つは非線形項およびインパルス項に依存する。
• Lebesgueの支配収束定理と半群の性質を用いて、解作用素の等連続性を確立する。
• 非線形関数 $f$ およびインパルス関数 $\zeta_k$ にリプシッツ型条件を課すことで、作用素が適切に定義されかつ収縮的であることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バナッハ空間における非即時インパルスを伴うヒルファ分数進化方程式に対して、弱い解が存在するための条件は何か？
• RQ2 完全なコンパクト性を要件としない状況で、カラトウスキの非コンパクト性測度をどのように用いて存在を証明できるか？
• RQ3 等連続な $C_0$-半群が解作用素が適切に定義されることに果たす役割は何か？
• RQ4 従来の分数進化方程式に関する研究と比較して、より弱い仮定の下でも弱い解の存在を確立できるか？
• RQ5 解作用素が $\mathbf{PC}_{1-\gamma}$ 空間で $k$-集合収縮的であるための必要十分条件は何か？

主な発見

• 解作用素 $\mathfrak{F}$ が $k = \mathbf{M}(\mathbf{K} + 4\mathbf{L})$ を満たす $k$-集合収縮的であることが示され、不動点の存在が保証される。
• 弱い解は、分数階数 $\gamma = \alpha + \beta(1 - \alpha)$ に適合した空間 $\mathbf{PC}_{1-\gamma}$ に存在する。
• $\mathfrak{F}_2$ は積分項を表すが、これは等連続性を示しており、不動点定理の適用に不可欠である。
• 任意の有界集合に対する $\mathfrak{F}$ の像の非コンパクト性測度は、元の集合の測度の定数倍で抑えられ、収縮的性質が確認される。
• 非線形関数 $f$ および $\zeta_k$ にリプシッツ条件を課し、半群が等連続である限り、存在結果は成り立つ。
• 等連続性および非コンパクト性の推移の見積もりにおいて、極限の取り扱いを正当化するためにLebesgueの支配収束定理に依存している。