[論文レビュー] Existence of minimal nodal solutions for the Nonlinear Schroedinger equations with V ({\infty}) = 0

Marco Ghimenti, Anna Maria Micheletti|arXiv (Cornell University)|Dec 27, 2010

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 7被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$V(\infty) = 0$ である非線形シュレーディンガー方程式 $-\Delta u + V(x)u = f'(u)$ に対して、二重べき乗非線形性および直交的反転 $\tau$ に関して不変なポテンシャル $V$ の下で、符号がちょうど一度変化する（最小ノードル）解の存在を確立する。エネルギー汎関数を $\tau$-反対称関数に制限し、局所化された $V_y$ を用いたゼロポテンシャルの摂動により、十分に分離された台を持つ場合に、制約多様体上のエネルギーの下界が達成され、かつ2倍の基底状態エネルギーより厳密に小さいことが示され、これにより最小ノードル解が得られる。

ABSTRACT

We consider the problem Δu+V(x)u = f'(u) in RN. Here the nonlinearity has a double power behavior and V is invariant under an orthogonal involution, with V ({\infty}) = 0. An existence theorem of one pair of solutions which change sign exactly once is given.

研究の動機と目的

• ポテンシャル $V$ が無限遠で消える場合の $\mathbb{R}^N$ 上の非線形シュレーディンガー方程式に対して、符号がちょうど一度変化する（最小ノードル）解の存在を確立すること。
• ノードル解に自然な制約が存在せず、コンパクト性の欠如がある状況を、直交的反転 $\tau$ を用いた対称性の利用によって克服すること。
• 台が分離された特定のクラスのポテンシャル $V_y$ に対して、$\tau$-反対称ネハリ多様体上のエネルギー汎関数の下界が達成され、かつ $2\mu_0$（基底状態エネルギーの2倍）より厳密に小さいことを証明すること。
• これらの条件下での最小化子が、符号がちょうど一度変化する最小ノードル解であることを示すこと、すなわち、正の成分と負の成分がそれぞれ一つずつ存在すること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $E_V(u) = \frac{1}{2}\int |\nabla u|^2 + \frac{1}{2}\int V(x)u^2 - \int f(u)$ を定義し、$\tau$-反対称関数、すなわち $u(\tau x) = -u(x)$ に制限する。
• 点 $y$ および $\tau y$ の近傍に局所化されたポテンシャル $V_y$ のクラスを導入し、$||V_y||_{L^{N/2}} < S$ を満たすことで、ポホジャエフ型不等式が成り立つようにする。
• 基底状態 $w$（$V \equiv 0$ の場合）を用いて、$z_y = \theta w(x-y) + \theta w(x-\tau y)$ というテスト関数を導入し、制約多様体上のエネルギーを推定する。
• 距離 $|y - \tau y| \to \infty$ となる極限において、スケーリングされたテスト関数 $t^{V_y}_{z_y} z_y$ のエネルギーが $\varphi(\bar{t}) < 2\mu_0$ に収束することを証明し、ここで $\bar{t} < 1$ である。
• スプリットリング・レムマを適用して、$|y - \tau y|$ が十分に大きい場合に、下界 $\mu_{V_y}^\tau$ が達成されることを示す。
• ノードル成分への分解に基づく背理法を用いて、最小化子がちょうど一つの正成分と一つの負成分を持つことを証明し、したがって最小ノードルであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項が二重べき乗成長を示す場合、$V(\infty) = 0$ でポテンシャルが無限遠で消える非線形シュレーディンガー方程式に対して、最小ノードル解が存在しうるか？
• RQ2 ポテンシャル $V > 0$ の場合に基底状態解が存在しないとしても、対称性を用いることでノードル解は依然として存在しうるのか？
• RQ3 対称的かつ局所化された $V_y$ を用いたゼロポテンシャルの摂動によって、コンパクト性が回復され、エネルギーの下界が達成可能になるか？
• RQ4 対称性制約と減衰するポテンシャルの下で、符号がちょうど一度変化する解を構成することは可能か？

主な発見

• $V \equiv 0$ の場合、下界 $\mu_0^\tau$ は達成されず、$V > 0$ の場合 $\mu_V^\tau = \mu_0^\tau = 2\mu_0$ となる。
• (10) で定義されたポテンシャル $V_y$ に対して、$|y - \tau y|$ が十分に大きいとき $\mu_{V_y}^\tau < \mu_0^\tau = 2\mu_0$ が成り立つ。
• $|y - \tau y|$ が十分に大きい場合、下界 $\mu_{V_y}^\tau$ は達成され、$\tau$-反対称クラス内に最小化子 $\omega$ が存在する。
• 最小化子 $\omega$ は符号をちょうど一度変化する。これは、ノードル成分が2つ以上あると仮定して背理法を用い、$\mu_{V_y}^\tau \geq k\mu_{V_y}^\tau$（$k > 1$）が得られ、矛盾に至ることで示される。
• 最小化子のエネルギーは $E_{V_y}(\omega) < 2\mu_0$ を満たし、基底状態エネルギーの2倍より厳密に小さいことが確認される。
• テスト列に沿ったエネルギー汎関数の収束により、$|y - \tau y|$ が十分に大きい場合に $\mu_{V_y}^\tau$ が $2\mu_0$ より厳密に小さいことが保証される。