[論文レビュー] Existence of minimizers for eigenvalues of the Dirichlet-Laplacian with a drift

Barbara Brandolini, Francesco Chiacchio+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 30被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、重み付き体積制約 $e^{|x|^2/2}dx$ を伴うドリフト項 $-\Delta - x\cdot\nabla$ を持つディリクレ＝ラプラシアンの任意の固有値 $\lambda_k$ に対する最小化子の存在を確立する。重み付きソボレフ空間におけるコンパクト埋め込みと、関連する偏微分方程式の解の列を用いた新規な収束議論を活用することで、$\mathbb{R}^N$ 内に最小化 quasi-open 集合が存在することを証明し、ドリフト付き作用素に対するスペクトル最適化における未解決問題を解決する。

ABSTRACT

This paper deals with the eigenvalue problem for the operator $L=-\\Delta -x\\cdot \ abla $ with Dirichlet boundary conditions. We are interested in proving the existence of a set minimizing any eigenvalue $\\lambda_k$ of $L$ under a suitable measure constraint suggested by the structure of the operator. More precisely we prove that for any $c>0$ and $k\\in \\mathbb{N} $ the following minimization problem $$ \\min\\left\\{\\lambda_k(\\Omega): \\> \\Omega \\>\\mbox{quasi-open} \\>\\mbox{set}, \\> \\int_\\Omega e^{|x|^2/2}dx\\le c\ ight\\} $$ has a solution.

研究の動機と目的

• 作用素 $L = -\Delta - x\cdot\nabla$ の任意の固有値 $\lambda_k$ が自然な重み付き測度制約下で最小化される領域が存在するか、という未解決問題を解決すること。
• 非有界領域におけるコンパクト性の欠如に直面しても、$\mathbb{R}^N$ 内でドリフト付き固有値問題の最小化子の存在を確立すること。
• 標準的ディリクレ＝ラプラシアンに対するスペクトル最適化技法を、重み付き測度 $m_N = e^{|x|^2/2}dx$ を用いたドリフト付き作用素へ拡張すること。
• 非一様で指数関数的に増加する重み下での高次固有値 $\lambda_k$ の最小化に対する厳密な枠組みを提供すること。

提案手法

• 体積制約 $m_N(\Omega_n) \leq c$ を満たす quasi-open 集合 $\Omega_n$ の最小化列を構成し、$\lambda_j(\Omega_n)$ に対応する固有関数 $u_n^j$ を考察する。
• $\Omega_n$ 内で $-\mathrm{div}(e^{|x|^2/2}\nabla w_n) = e^{|x|^2/2}$ を満たし、境界上では $w_n = 0$ となる $w_n$ を定義し、$L^2(\mathbb{R}^N; m_N)$ 内で $w_n \to w$ の強い収束を示す。
• 最大原理から得られる点ごとの評価 $|u_n^j| \leq \Lambda M w_n$ を用いて、$u_n^j$ が $L^\infty$ で一様有界であり、したがって $H_0^1(\Omega_n; m_N)$ 内で等価有界であることを示す。
• $H^1(\mathbb{R}^N; m_N)$ 内で弱収束 $u_n^j \rightharpoonup u^j$ および $L^2(\mathbb{R}^N; m_N)$ 内で強収束 $u_n^j \to u^j$ を示し、$u^j \in H_0^1(\hat{\Omega}; m_N)$ となることを示す。ここで $\hat{\Omega} = \{w > 0\}$ である。
• 下半連続性とコンパクト性を用いて、固有値関数の汎関数の下界が $\lambda_j(\hat{\Omega})$ で達成されることを示し、最小化子の存在を証明する。
• 重み付きハーディー型不等式と固有関数に対する鋭い逆ホルダー不等式を用いて、$L^\infty$ ノルムを制御し、収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $c > 0$ および $k \in \mathbb{N}$ に対して、$\Omega \subset \mathbb{R}^N$ が $\int_\Omega e^{|x|^2/2}dx \leq c$ を満たす条件下で、作用素 $-\Delta - x\cdot\nabla$ の $k$ 番目の固有値 $\lambda_k(\Omega)$ を最小化する領域 $\Omega$ が存在するか？
• RQ2 $\mathbb{R}^N$ 内のスペクトル最適化問題において、適切な重み付き測度を用いることで、ドリフト付き問題におけるコンパクト性の欠如を克服できるか？
• RQ3 領域がすべての quasi-open 集合 $\Omega$ に対して $\int_\Omega e^{|x|^2/2}dx \leq c$ を満たす範囲で変化するとき、ドリフト付きラプラシアンの $\lambda_k$ の最小化問題は適切に定式化されているか？
• RQ4 ドリフト付きラプラシアンの固有関数は、領域の変化に対して一様に制御可能であり、収束を保証できるか？

主な発見

• 任意の $c > 0$ および $k \in \mathbb{N}$ に対して、最小化問題 $\min\{\lambda_k(\Omega) : \Omega \subset \mathbb{R}^N \text{ quasi-open}, \, m_N(\Omega) \leq c\}$ は解をもつ。
• 最小化子は $w$ を $f \equiv 1$ の重み付きポisson 問題の解とする $\hat{\Omega} = \{w > 0\}$ という quasi-open 集合である。
• $\lambda_j(\Omega_n)$ に対応する固有関数 $u_n^j$ は $L^2(\mathbb{R}^N; m_N)$ 内で強収束し、$H^1(\mathbb{R}^N; m_N)$ 内で弱収束し、$\hat{\Omega}$ の固有関数 $u^j$ に収束する。
• 極限固有値 $\lambda_j(\hat{\Omega})$ は下界を達成し、任意の $k$ に対して最小化子の存在を証明する。
• ドリフト作用素 $-\Delta - x\cdot\nabla$ の最大原理は quasi-open 集合において成り立ち、非負のデータに対して解が非負であることを保証する。
• 重み付きソボレフ空間 $H_0^1(\Omega; m_N)$ は $L^2(\Omega; m_N)$ にコンパクトに埋め込まれており、収束議論において本質的である。