[論文レビュー] Existence of Minimizers for Fractional Variational Problems Containing Caputo Derivatives

Loïc Bourdin, Tatiana Odzijewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2012

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 24被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、リーマン–リウビルの積分、古典的微分、およびカプトー分数階微分を含む分数階変分問題における最小化子の存在を確立する。正則性、凸性、強制的条件のもとで、最小化列がソボレフ空間において弱収束することを証明し、変分法の直接法により最小化子の存在を保証する。

ABSTRACT

We study dynamic minimization problems of the calculus of variations with Lagrangian functionals containing Riemann-Liouville fractional integrals, classical and Caputo fractional derivatives. Under assumptions of regularity, coercivity and convexity, we prove existence of solutions.

研究の動機と目的

• 分数階変分問題におけるカプトー微分、リーマン–リウビル積分、および古典的微分を含む最小化子の存在を確立すること。
• 標準的変分法の古典的存在理論を、分数階微分作用素へと拡張すること。
• 特に凸性、正則性、強制的条件といった十分条件を提示し、適切な関数空間における最小化子の存在を保証すること。
• 分数階微分の変分法において、存在定理が稀であるにもかかわらず、必要最適性条件に関する広範な研究がなされているという、重要なギャップを埋めること。

提案手法

• 境界条件が満たされるように、関数空間 $\textrm{W}^{1,p}_{a} = \{u \in \textrm{W}^{1,p} : u(a) = u_0\}$ において変分問題を定式化する。
• 最小化列が $\textrm{W}^{1,p}$ において有界かつ弱相対コンパクトであることを証明することで、変分法の直接法を適用する。
• $1 < p \leq \infty$ のときのコンパクト埋め込み $\textrm{W}^{1,p} \lhook\joinrel\twoheadrightarrow \mathscr{C}$ を用いて、弱収束が一様収束を意味することを保証する。
• 既知の作用素ノルム推定を用いて、リーマン–リウビルおよびカプトー分数階作用素が $\textrm{L}^p$ で有界であることを確立する。
• $\|u\|_{\textrm{L}^\infty}$, $\|I^\alpha_- [u]\|_{\textrm{L}^p}$, および $\|{{}_{c}}D^\alpha_- [u]\|_{\textrm{L}^p}$ の事前推定を $\|\dot{u}\|_{\textrm{L}^p}$ の項で表し、成長を制御する。
• ホルダーの不等式と条件 $d_{1,k} + d_{2,k} + d_{3,k} + d_{4,k} < p$ を用いて、汎関数 $\mathcal{L}$ の強制的性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カプトー微分を含む分数階変分問題が最小化子をもつための条件は何か？
• RQ2 混合された古典的微分、リーマン–リウビル積分、およびカプトー分数階微分を含む汎関数に対して、どのように強制的性を確立できるか？
• RQ3 変分法の直接法を、非局所作用素を含む分数階変分問題へと拡張できるか？
• RQ4 ソボレフ型関数空間における最小化子の存在を保証するためのラグランジアンに必要な十分条件は何か？
• RQ5 ラグランジアンの正則性および成長性が、分数階微分の変分法における最小化子の存在にどのように影響するか？

主な発見

• ラグランジアンが $L(x_1,x_2,x_3,x_4,t) \geq c_0\|x_3\|^p + \sum_{k=1}^N c_k \|x_1\|^{d_{1,k}}\|x_2\|^{d_{2,k}}\|x_3\|^{d_{3,k}}\|x_4\|^{d_{4,k}}$ を満たし、$c_0 > 0$ かつ $d_{1,k} + d_{2,k} + d_{3,k} + d_{4,k} < p$ である限り、汎関数 $\mathcal{L}$ は $\textrm{W}^{1,p}_{a}$ で強制的である。
• コンパクト埋め込み $\textrm{W}^{1,p} \lhook\joinrel\twoheadrightarrow \mathscr{C}$ のため、$\textrm{W}^{1,p}_{a}$ における最小化列の弱収束が保証される。
• $\|\dot{u}\|_{\textrm{L}^p} \to \infty$ であることと $\|u\|_{\textrm{W}^{1,p}} \to \infty$ であることとは同値であり、微分の成長が全ソボレフノルムと関連している。
• 直接法により最小化子の存在が確立される：有界な最小化列は弱収束する部分列を持ち、下半連続性により極限が最小化子であることが保証される。
• $p=2$ の場合、$\mathcal{L}(u) = \int_a^b \|u\|^2 + \|I^\alpha_- [u]\|^2 + \|\dot{u}\|^2 + \|{{}_{c}}D^\alpha_- [u]\|^2 \, dt$ かつ $u(a) = u_0$ という例題は、凸性と強制的性により最小化子をもつ。
• 結果は $p \in (1, \infty]$ に対して有効であり、証明は $\textrm{L}^p$ における分数階積分および微分作用素の有界性に依存する。