[論文レビュー] Existence of minimizing Willmore surfaces of prescribed conformal class

Martin Schmidt|ArXiv.org|Mar 18, 2004

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 13被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンpakトなリーマン面に固定された共形類を備えた3次元および4次元ユークリッド空間への最小化Willmore超曲面の存在を確立する。クaternion関数論、ディラック作用素の核、スペクトル論を活用することで、固定された正則構造に制限された場合でも、Willmore汎関数が共形埋め込みの空間上で最小値に達することを証明する。最小化子は分岐点を有する可能性があり、あるいは有限重複の分岐被覆を伴うことがある。

ABSTRACT

We consider the class of all conformal mappings from a compact Riemann surface into the threedimensional or fourdimensional Euclidean space. A sequence in this class with bounded Willmore functional is shown to have a sequence of conformal transformations of the target space, such that a subsequence of the transformed sequence converges. This implies that there exists a smooth conformal mapping, which minimizes the Willmore functional in this class. For this purpose we extend the quaternionic function theory of Pedit and Pinkall to square integrable Hopf fields. In particular, we proof the Pluecker formula for such Hopf fields.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面からR^3およびR^4への共形埋め込みの空間上でWillmore汎関数の最小化子の存在を確立すること。
• 平方可積分なホフ・フィールドと正則なクォータニオン線束を含むようにクォータニオン的Weierstrass表現を拡張すること。
• 固定された基礎となる正則複素線束を持つ共形埋め込みの空間上でWillmore汎関数が最小値に達することを証明すること。
• ホフ・フィールドの弱収束を分析し、極限構造が正則なクォータニオン線束のまま保たれること（可能なかぎり特異点を含む）を示すこと。
• シモンおよびバウアー＝クーバートの先行研究が1位相に限られていたのを、すべての位相にまで一般化してWillmore最小化子の存在結果を拡張すること。

提案手法

• 共形埋め込みを、平方可積分なホフ・フィールドを持つ正則クォータニオン線束のセクションとして記述するクォータニオン的Weierstrass表現を用いる。
• ポテンシャル付きディラック作用素のスペクトル論を応用し、(\begin{smallmatrix} \bar{\partial} & -\bar{U} \\ U & \partial \end{smallmatrix}) でパrameter化される埋め込みを分析する作用素の核を解析する。
• 平方可積分なホフ・フィールドに対して、バックレンド変換を確立し、無限小Weierstrass表現とクォータニオン関数論におけるコーディラ埋め込みを結びつける。
• Cechコhomロジーと関連する正則クォータニオン線束の層に、リーマン・ローチの定理とセール双対性を適用する。
• ホフ・フィールドの有界な数列に対してコンパクト性の議論を適用し、極限が正則構造（可能なかぎり特異点を含む）を定義することを示す。
• ディラック作用素の核に対する重み付きL^pおよびソボレフ空間の推定を用いて、局所的正則性と局所的最小化子の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトなリーマン面からR^3およびR^4への共形埋め込みの空間上で、固定された共形類を備えたWillmore汎関数が最小値に達するか？
• RQ2 位相1に限られていた先行結果をすべての位相にまで拡張して、最小化子の存在を確立できるか？
• RQ3 ホフ・フィールドとポテンシャルによって定義されるクォータニオン線束の正則構造は、弱収束下でどのように振る舞うか？
• RQ4 平方可積分なホフ・フィールドを備えた正則クォータニオン線束の文脈において、リーマン・ローチの定理とプラッカーの公式の役割は何か？
• RQ5 最小化子は埋め込みとして実現可能か、それとも必ず分岐被覆や特異点を含む必要があるか？

主な発見

• Willmore汎関数は、コンパクトなリーマン面からR^3およびR^4へのすべての共形埋め込みの空間上で最小値に達する。
• 任意の固定された正則複素線束に対して、その下に埋め込まれた構造を持つ共形埋め込みの空間上でのWillmore汎関数の制限も最小値に達する。
• 平方可積分なホフ・フィールドの任意の有界な数列は、特異点を含む可能性のある正則クォータニオン線束を定義する部分列に収束する。
• ポテンシャル付きディラック作用素の核は、すべてのmおよびp < ∞について局所的W^{m,p}空間に属し、最小化子のための十分な正則性を保証する。
• コンパクト性とスペクトル解析を用いて最小化子の存在が確立され、シモンおよびバウアー＝クーバートの先行結果がすべての位相に一般化された。
• 最小化子は分岐点を有する可能性があり、埋め込みであるとは限らないが、埋め込みと組み合わせた有限枚の分岐被覆として実現可能である。