[論文レビュー] Existence of multiple solutions of $p$-fractional Laplace operator with sign-changing weight function

Sarika Goyal, K. Sreenadh|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、変分法およびNehari多様体解析を用いて、符号が変わる重み関数を伴う$p$-分数階ラプラシアン方程式の非負解の存在および多重性を検討する。$1<\beta<p$ の$p$-下線型の場合、$\lambda < \lambda_1$ に対して少なくとも1つの非負解の存在を確立する。また、大きな$\lambda$に対してNehari多様体上でエネルギー汎関数が下に有界でないことを証明し、特定の条件下で複数の解が存在することを示唆する。

ABSTRACT

In this article, we study the following $p$-fractional Laplacian equation \begin{equation*} (P_{\la}) \left\{ \begin{array}{lr} - 2\int_{\mb R^n}\frac{|u(y)-u(x)|^{p-2}(u(y)-u(x))}{|x-y|^{n+p\al}} dy = \la |u(x)|^{p-2}u(x) + b(x)|u(x)|^{\ba-2}u(x)\; ext{in}\; \Om \quad \quad\quad\quad \quad\quad\quad\quad\quad \quad u = 0 \; \mbox{in}\; \mb R^n \setminus\Om,\quad u\in W^{\al,p}(\mb R^n).\\ \end{array} \quad ight. \end{equation*} where $\Om$ is a bounded domain in $\mb R^n$ with smooth boundary, $n&gt; p\al$, $p\geq 2$, $\al\in(0,1)$, $\la&gt;0$ and $b:\Om\subset\mb R^n a \mb R$ is a sign-changing continuous function. We show the existence and multiplicity of non-negative solutions of $(P_{\la})$ with respect to the parameter $\la$, which changes according to whether $1

研究の動機と目的

• 符号が変わる重み関数$b(x)$を伴う$p$-分数階ラプラシアン方程式の非負弱解の存在を確立すること。
• $\lambda$ と $\beta$ が $p$ や臨界ソボレフ指数 $p^*$ に対してどのように影響を与えるかに応じた解の多重性を分析すること。
• $\lambda \to \lambda_1^-$ のときの解の漸近的挙動を調査すること、ここで $\lambda_1$ は第一固有値である。
• エネルギー汎関数 $J_\lambda$ がNehari多様体上で下に有界でない条件を特定し、それが解の多重性を示唆する可能性を明らかにすること。
• 非存在結果を提示し、繊維写像解析を用いてNehari多様体の構造を特徴付けること。

提案手法

• エネルギー汎関数 $J_\lambda$ の臨界点を、繊維写像の微分の符号に基づいて分類するNehari多様体アプローチを用いる。
• 繊維写像解析を適用し、$J_\lambda(tu)$ の二階微分に基づいてNehari多様体を $\mathcal{N}_\lambda^+$, $\mathcal{N}_\lambda^0$, $\mathcal{N}_\lambda^-$ の部分集合に分解する。
• 境界 $\mathbb{R}^n \setminus \Omega$ でのゼロトレースを持つ関数空間として、分数階ソボレフ空間 $X_0 = W^{\alpha,p}_0(\Omega)$ を用いる。
• 特異核 $K(x) = |x|^{-(n+p\alpha)}$ を用いて定義される非局所作用素 $\mathcal{L}_K$ を用い、$p$-分数階ラプラシアン $(-\Delta)^\alpha_p$ に対応させる。
• Fr\'echet微分可能性の性質を用いた変分的技法、特に $J_\lambda$ のFr\'echet微分を用いて弱解をエネルギー汎関数の臨界点として同定する。
• 境界付近での $J_\lambda$ の挙動を分析するため、比較的議論および摂動技法（例：小さな $\epsilon h$ の加法）を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号が変わる重み $b(x)$ を伴う $p$-分数階ラプラシアン方程式が、少なくとも1つの非負弱解を有するための条件は何か？
• RQ2 パラメータ $\lambda$ は、特に下線型（$1<\beta<p$）および上線型（$p<\beta<p^*$）の領域において、解の存在および多重性にどのように影響を与えるか？
• RQ3 $\lambda \to \lambda_1^-$ のとき、Nehari多様体 $\mathcal{N}_\lambda^-$ 上でのエネルギー汎関数 $J_\lambda$ の下界の最小値はどのように振る舞い、解の多重性にどのような意味を持つのか？
• RQ4 エネルギー汎関数 $J_\lambda$ が $\mathcal{N}_\lambda^+$ 上で下に有界でないのはどのような場合か？ これは複数の解の存在にどのような含意を持つのか？
• RQ5 第一固有関数 $\phi_1$ は、$\lambda_1$ の近傍における $J_\lambda$ の挙動を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• $\lambda < \lambda_1$ に対して、問題 $(P_\lambda)$ は $\mathcal{N}_\lambda^+$ 上で $J_\lambda$ を最小化する非負解を少なくとも1つ持つ。
• $\int_\Omega b(x)\phi_1^\beta dx > 0$ ならば、$\lim_{\lambda \to \lambda_1^-} \inf_{u \in \mathcal{N}_\lambda^+} J_\lambda(u) = -\infty$ が成り立ち、これは下界の崩壊（blow-down）を示唆する。
• $\lambda > \lambda_1$ に対して、$\int_\Omega b(x)\phi_1^\beta dx > 0$ ならば、$\inf_{u \in \mathcal{N}_\lambda^-} J_\lambda(u) = 0$ が成り立つ。これは摂動および正規化の議論によって確立される。
• ある $\tilde{\lambda}$ が存在し、$\lambda > \tilde{\lambda}$ に対して $\inf_{u \in \mathcal{N}_\lambda^-} J_\lambda(u) = 0$ が成り立つ。このとき $\phi_1$ に対する積分の正の仮定は不要である。
• 十分に大きな $\lambda$ に対して、エネルギー汎関数 $J_\lambda$ は $\mathcal{N}_\lambda^+$ 上で下に有界でない。これは複数の解の存在を示唆する。
• ある $\hat{\lambda}$ が存在し、$\lambda > \hat{\lambda}$ に対して $J_\lambda$ は $\mathcal{N}_\lambda^+$ 上で下に有界でない。これは大 $\lambda$ の領域における多重性を確認する。