[論文レビュー] Existence of Nontrivial Solutions for p-Laplacian Equations in {R}^{N}

Chungen Lıu, Youquan Zheng|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2010

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、R^Nにおける符号変化するポテンシャルおよびp超線形非線形項を有するpラプラシアン方程式に対して、錐上のコhomological linking法を用いて、非自明な弱解の存在を確立する。主な結果として、周期性の仮定なしに、パラメータλのすべての実数値に対してそのような解が存在することを示している。

ABSTRACT

In this paper, we consider a p-Laplacian equation in {R}^{N}with sign-changing potential and subcritical p-superlinear nonlinearity. By using the cohomological linking method for cones developed by Degiovanni and Lancelotti in 2007, an existence result is obtained. We also give a result on the existence of periodic solutions for one-dimensional $p$-Laplacian equations which can be proved by the same method.

研究の動機と目的

• R^Nにおける符号変化するポテンシャルを有するpラプラシアン方程式の非自明な弱解の存在を確立すること。
• 定数符号のポテンシャルおよび周期的設定を超えた既存の結果を拡張すること。
• アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件よりも弱い成長および強制的条件のもとで解の存在を証明すること。
• 符号変化するポテンシャルを有するpラプラシアン問題にコhomological linking法が適用可能であることを示すこと。
• 同じ手法を用いて1次元周期的解の存在についても類似の結果を提示すること。

提案手法

• DegiovanniとLancelotti（2007）が開発した錐上のコhomological linking法を用いて、エネルギー汎関数の臨界点を求める。
• Sobolev空間W^{1,p}(R^N) 上で、エネルギー汎関数Φ(u) = (1/p)∫|∇u|^p + |u|^p dx − (λ/p)∫V(x)|u|^p dx − ∫F(x,u) dx を定義する。
• ポテンシャルU(x) = b(x) − λV(x) および非線形項f(x,t) に対して、条件(B)、(V)、および(f1)–(f4)を課す。これらにはp超線形成長および一般化された凸性条件(f4)が含まれる。
• エネルギー推定を用いた背理法により、Palais-Smale系列の有界性を証明し、Cerami条件を確立する。
• 線形化作用素の固有値に関連するスペクトル射影によって定義される錐C_−およびC_+を用いて、リンク定理を適用する。
• 1次元周期的ケースにこの手法を適応するため、適切なBanach空間W^{1,p}(S^1)を定義し、周期的固有値構造を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号が変化するポテンシャルおよび周期性の仮定なしに、R^Nにおけるpラプラシアン方程式に対して非自明解が保証されるか？
• RQ2 符号変化するポテンシャルおよびp超線形非線形項を有するpラプラシアン問題に、コhomological linking法が錐上で有効に機能するか？
• RQ3 古典的なアムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を緩和しても、解の存在が保証されるか？
• RQ4 パラメータλのすべての実数値、特にλ = 0に対しても、解の存在結果が成立するか？
• RQ5 同じ手法を用いて1次元周期的pラプラシアン方程式に対し、周期的解の存在を示すことができるか？

主な発見

• 条件(B)、(V)、および(f1)–(f4)のもとで、問題(1.1)は任意のλ ∈ Rに対して少なくとも1つの非自明な弱解を有する。
• inf b(x) > −∞ が十分である；b(x) ≥ b₀ > 0 という要件は、bおよびVを適切にシフトすることで緩和可能である。
• 一般化された凸性条件(f4)が、アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件(1.3)に代わる。これにより、より弱い成長仮定が許容される。
• エネルギー汎関数に対してCerami条件が確認され、有界なPalais-Smale系列の収束が保証される。
• 手法は1次元周期的pラプラシアン方程式(5.22)に対してもそのまま適用可能であり、任意のλ ∈ Rに対して非自明な解が得られる。
• V⁺(x) ≡ 0 または λ < λ₁ の場合でも、錐構造をC₋ = {0} およびC₊ = W^{1,p}(S¹) に調整することで、結果が成立する。