[論文レビュー] Existence of $p$ harmonic multiple valued maps into a separable Hilbert space

Philippe Bouafia, Thierry De Pauw+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2014

Fixed Point Theorems Analysis参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、Q値関数のSobolev理論の内因的アプローチを用いて、m次元単位球から分離可能なヒルバート空間へのp調和多値写像の存在を確立する。pエネルギー最小化関数のDirichlet問題は、コンパクト性、トレース理論、Sobolev空間W^{1}_p(U; Q_Q(ℓ₂))における下界半連続性を用いて解を有することを証明する。

ABSTRACT

The general existence of $p$-Dirichlet energy minimizing maps into $Q_Q(l_2)$ is obtained.

研究の動機と目的

• 古典的な埋め込み（例：Almgrenのもの）が利用できない無限次元分離可能なヒルバート空間へのp調和多値写像の存在を確立すること。
• ℓ₂に値をとるQ値関数のための内因的Sobolev理論を構築すること。これにはL_pおよびW^{1}_p空間の定義、トレース、Poincaré不等式が含まれる。
• 境界データが指定された場合に、Sobolev空間W^{1}_p(U; Q_Q(ℓ₂))におけるpエネルギー最小化関数のDirichlet問題が解を有することを証明すること。
• 有限次元の終域に制限されないp調和写像理論を拡張するために、無限次元における双リプシッツ埋め込みに依存しない方法を採用すること。
• Rademacher型の結果と近似技術を用いて、Sobolev Q値関数のpエネルギーの下界半連続性と almost everywhere での微分可能性を保証すること。

提案手法

• L_pおよびW^{1}_p空間を、L_p半ノルムd_p(f₁,f₂) = (∫_U G(f₁,f₂)^p dℒ^m)^{1/p} におけるリプシッツ写像の極限として定義することにより、U → Q_Q(ℓ₂) であるQ値関数fのL_pおよびW^{1}_p空間を定義する。
• 下界半連続性を保証するために、L_p収束におけるpエネルギーの緩和を用いて、pエネルギー 𝒟_p^p(f;U) を定義する。
• 写像の値を制御し、Sobolev空間におけるコンパクト性を保証するために、ℓ₂ → ℓ₂のコンパクトな凸集合Cへの最近点射影P: ℓ₂ → Cを導入する。
• Rellich型コンパクト性定理（定理4.8.2）を用いて、W^{1}_p(U; Q_Q(ℓ₂))内に有界な列から収束部分列を抽出する。
• Poincaré不等式（定理4.6.2）およびLuzin型近似（命題4.6.3(1)）を活用し、Sobolev写像の almost everywhere での微分可能性を確立する。
• トレース理論および拡張定理（定理4.5.1）を適用して、境界データが最小化の過程で保持されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Almgrenの双リプシッツ埋め込みが利用できない無限次元ヒルバート空間において、p調和Q値写像の存在を確立できるか？
• RQ2 与えられた境界データに対して、W^{1}_p(U; Q_Q(ℓ₂))におけるpエネルギー汎関数が最小化子を有するか？
• RQ3 Q値関数のL_p収束において、pエネルギー汎関数は下界半連続性を満たすか？
• RQ4 Sobolev Q値関数は、W^{1}_pノルムにおいてリプシッツ写像によって近似可能であり、これは almost everywhere での微分可能性を意味するか？
• RQ5 Sobolev空間W^{1}_p(U; Q_Q(ℓ₂))におけるQ値関数のトレース作用素は、射影およびコンパクト性の議論によって境界データを保持するか？

主な発見

• 分離可能なヒルバート空間ℓ₂へのp調和Q値写像のDirichlet問題は解を有する：任意のリプシッツ境界データg: ∂U → Q_Q(ℓ₂)に対して、pエネルギーを最小化するf ∈ W^{1}_p(U; Q_Q(ℓ₂))が存在し、𝒯(f) = gを満たす。
• pエネルギー汎関数はL_p収束に対して下界半連続であり、命題4.4.1および推論4.6.4によって保証される。
• Sobolev Q値関数f ∈ W^{1}_p(U; Q_Q(ℓ₂))はalmost everywhere で微分可能である。これはRademacher型微分可能性（定理2.5.8）およびリプシッツ写像による近似から導かれる。
• Poincaré不等式（定理4.6.2）は無限次元設定でも成り立ち、より強い近似結果およびSobolev空間内でのコンパクト性を可能にする。
• Rellich型コンパクト性定理（定理4.8.2）により、W^{1}_p(U; Q_Q(ℓ₂))内に有界な列は、値がコンパクト集合に含まれる限り、L_pで収束部分列を有する。
• 最近点射影P: ℓ₂ → コンパクトな凸集合Cの使用により、最小化列をコンパクトな値域に再中心化でき、Sobolev空間内での弱収束の抽出が可能になる。