[論文レビュー] Existence of Positive Solutions for a Nonlinear Third-order Integral Boundary Value Problem

Cheikh Guendouz, Faouzi Haddouchi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2018

Nonlinear Differential Equations Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Krasnoselskiiの固定点定理（錐上）を用いて、積分境界条件を伴う非線形3階2点境界値問題に対して、少なくとも1つの正の解の存在を確立している。解析は超線形および亜線形の非線形性をカバーし、非線形関数fの標準的成長条件および重み関数gの可積分性制約の下で解の存在を証明している。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of at least one positive solution for a nonlinear third-order two-point boundary value problem with integral condition. By employing the Krasnoselskii's fixed point theorem on cones, the existence results of the problem are established.

研究の動機と目的

• 積分境界条件を伴う非線形3階2点境界値問題に対して、正の解の存在を調査すること。
• 境界条件に積分項を組み込むことで、既存の3階BVPに関する結果を拡張すること。
• 非線形関数fの超線形および亜線形成長仮定の下で、解の存在結果を確立すること。
• 錐上の固定点理論を用いて、少なくとも1つの正の解の存在を証明すること。
• 位相的方法を用いて正の解の存在を保証するfおよびgの十分条件を提示すること。

提案手法

• Banach空間における連続関数の空間上で、Krasnoselskiiの固定点定理（錐上）を用いて正の解の存在を分析する。
• 境界条件を満たす非負かつ凹関数からなる錐Kを、空間C[0,1]に定義する。
• BVPに関連するグリーン関数に基づいて、A: K → K となる完全連続作用素Aを構成する。
• グリーン関数G(t,s)の点ごとの推定値を導出し、作用素Aの有界性と正値性を保証する。
• A(u)のノルム推定値を用いて、錐の拡張および圧縮固定点定理を適用する。
• f（超線形または亜線形）およびg（非負で、∫₀¹ t²g(t)dt < 1を満たす）に対して十分な条件を確立し、錐内に固定点が存在することを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形源項f(u)を伴う3階積分境界値問題が、少なくとも1つの正の解をもつための条件は何か？
• RQ2 f(u)の超線形および亜線形成長挙動は、正の解の存在にどのように影響するか？
• RQ3 Krasnoselskiiの固定点定理（錐上）は、積分境界条件を伴う3階BVPに効果的に適用可能か？
• RQ4 重み関数g(t)は、正の解の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 境界条件u(0)=u′(0)=0およびu(1)=∫₀¹ g(s)u(s)dsは、解空間の構造にどのように影響するか？

主な発見

• 超線形f（f₀=∞, f∞=0）の場合、f(u)が原点近傍で線形より速く、無限大近傍で線形より遅く成長する条件下で、問題は少なくとも1つの正の解をもつ。
• 亜線形f（f₀=0, f∞=∞）の場合、f(u)が原点近傍で線形より遅く、無限大近傍で線形より速く成長する条件下でも、問題は少なくとも1つの正の解をもつ。
• 解の存在結果は、グリーン関数および作用素ノルムの推定値を用いた錐の圧縮および拡張定理により証明されている。
• 証明は、錐K内に2つのネストされた球Ω₁およびΩ₂を構成し、∂Ω₁で||Au|| ≥ ||u||および∂Ω₂で||Au|| ≤ ||u||が成り立つようにしている。
• グリーン関数G(t,s)は、[θ,1−θ]×[0,1]上で明示的に下から有界であり、これによりAu(t)の下界が導出可能である。
• 2つの具体例により理論的結果が確認された：1つはf(u)=u²eᵘ（超線形）、もう1つはf(u)=√u+ln(1+u)（亜線形）であり、両者とも必要な成長および可積分性条件を満たしている。