[論文レビュー] Existence of positive solutions for nonlinear Kirchhoff type problems in R^3 with critical Sobolev exponent and sign-changing nonlinearities

Gongbao Li, Ye Hongyu|arXiv (Cornell University)|May 29, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 9被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^3$ における非線形 Kirchhoff 型方程式に対して、臨界ソボレフ成長（$u^5$）と符号変化する非線形項をもつ場合に正の解の存在を確立する。変分法および濃縮・コンパクトネスの議論を用いて、非線形項 $f(x,u)$ に適切な条件下で正の基底状態解の存在を証明し、従来の非臨界問題に対する結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we study the following nonlinear problem of Kirchhoff type with critical Sobolev exponent: -\left(a+b\ds\int_{\R^3}|D u|^2 ight)Δu+u=f(x,u)+u^{5}, u\in H^1(\R^3), u>0, $x\in \R^3$ where a,b>0 are constants. Under certain assumptions on the sign-changing function $f(x,u)$, we prove the existence of positive solutions by variational methods. Our main results can be viewed as a partial extension of a recent result of He and Zou in [17] concerning the existence of positive solutions to the nonlinear Kirchhoff problem \left(\varepsilon^2a+\varepsilon b\ds\int_{\R^3}|D u|^2 ight)Δu+V(x)u=f(u), u\in H^1(\R^3), u>0, $x\in \R^3$, where $\varepsilon>0$ is a parameter, $V(x)$ is a positive continuous potential and $f(u) hicksim |u|^{p-2}u$ with $4

研究の動機と目的

• $\ mathbb{R}^3$ における臨界ソボレフ指数（$u^5$）と符号変化する非線形項をもつ Kirchhoff 型方程式に対して正の解の存在を確立すること。
• 非臨界 Kirchhoff 問題に関する従来の結果を、臨界成長と符号変化する重みを組み込むことで拡張すること。
• 非線形項 $f(x,u)$ に対して弱い仮定の下で問題の変分的構造を分析すること。これには成長条件および Ambrosetti-Rabinowitz 型の不等式が含まれる。
• 臨界指数問題の文脈において、マウンテンパス定理と $(PS)_c$ 条件を用いて基底状態解の存在を証明すること。
• 強い最大値原理を用いて、基底状態解が厳密に正であることを示すこと。

提案手法

• エネルギー汎関数 $I(u) = \frac{1}{2}\|u\|^2 + \frac{b}{4}\left(\int_{\mathbb{R}^3}|Du|^2\right)^2 - \int_{\mathbb{R}^3} F(u) - \frac{1}{6}\int_{\mathbb{R}^3} (u^+)^6$ の臨界点問題として問題を定式化する。
• 非線形項 $f(t)$ に条件 $(f_1)$--$(f_4)$ を課したもとで、マウンテンパス定理を適用して汎関数 $I$ の $(PS)_c$ 列を求める。
• エネルギー推定を用いて、濃縮と二分の現象を排除することで、$(PS)_c$ 条件を濃縮・コンパクトネスの議論により証明する。
• 平行移動不変性と弱収束を用いて、平行移動列 $v_n = u_n(\cdot + y_n)$ の非自明な弱極限 $v$ を抽出し、これが $I$ の臨界点であることを示す。
• $L^6$ での収束および $f$ の性質を用いて、弱極限 $v$ が $H^1(\mathbb{R}^3)$ で強収束することを証明する。
• 非自明な臨界点の集合上でエネルギー汎関数を最小化し、強い最大値原理を適用することで正の基底状態解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 符号変化する非線形項 $f(x,u)$ に対して、$\ mathbb{R}^3$ における臨界成長をもつ Kirchhoff 型方程式が正の解をもつための条件は何か？
• RQ2 臨界非線形項 $u^5$ と符号変化する重みをもつ Kirchhoff 方程式に対して、基底状態解の存在を確立できるか？
• RQ3 臨界成長と非局所項を含む状況下で、関連するエネルギー汎関数に対して $(PS)_c$ 条件が成り立つか？
• RQ4 符号変化する重み $f_\lambda(x)$ の存在が、解の存在性および正規性にどのように影響するか？
• RQ5 最大値原理の議論を用いて、基底状態解が厳密に正であることを示せるか？

主な発見

• 本稿は、$\ mathbb{R}^3$ における臨界ソボレフ指数 $u^5$ と符号変化する非線形項 $f(x,u)$ をもつ Kirchhoff 型方程式に対して、正の基底状態解の存在を証明する。
• 条件 $(f_1)$--$(f_4)$ の下で、エネルギー汎関数の $(PS)_c$ 列が $H^1(\mathbb{R}^3)$ で強収束することが示され、非自明な臨界点の存在が保証される。
• マウンテンパス解のエネルギー水準 $c$ は $0 < c < c^*$ を満たす。ここで $c^*$ は非自明な解の上でのエネルギー汎関数の下界である。
• 強い最大値原理により、$\langle I'(u), u^- angle = 0$ が $u^- = 0$ を意味することから、基底状態解は $\ mathbb{R}^3$ で厳密に正である。
• パrameter $\lambda$ を含む場合、エネルギー水準 $c_\lambda$ は $c_\lambda \geq -C_0 \lambda^{\frac{4}{4-p}} + c^*$ を満たす。濃縮が生じるとこの不等式が矛盾を引き起こすため、コンパクトネスが保証される。
• He と Zou の先行研究を拡張し、3次元設定において符号変化する非線形項と臨界成長を許容する結果を得た。