[論文レビュー] Existence of positive solutions in the superlinear case via coincidence degree: the Neumann and the periodic boundary value problems

Guglielmo Feltrin, Fabio Zanolin|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 32被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、$ g(u) $ が 0 および $ +\infty $ で超線形成長を示し、$ a(x) $ が符号変化する第二種の非線形不等定問題 $ u'' + a(x)g(u) = 0 $ に対して、正の周期的およびノイマン解の存在を確立する。マーヴィンの一致度理論を用いて、非自明な正の解が存在するための必要十分条件を導出し、従来のディリクレ問題に限られていた結果をノイマンおよび周期的設定へと拡張する。

ABSTRACT

We prove the existence of positive periodic solutions for the second order nonlinear equation $u" + a(x) g(u) = 0$, where $g(u)$ has superlinear growth at zero and at infinity. The weight function $a(x)$ is allowed to change its sign. Necessary and sufficient conditions for the existence of nontrivial solutions are obtained. The proof is based on Mawhin's coincidence degree and applies also to Neumann boundary conditions. Applications are given to the search of positive solutions for a nonlinear PDE in annular domains and for a periodic problem associated to a non-Hamiltonian equation.

研究の動機と目的

• ノイマンおよび周期的境界条件を有する超線形不等定境界値問題における正の解の存在基準を確立すること。
• 従来、ディリクレ問題に限定されていた結果を、位相的方法を用いてノイマンおよび周期的設定へと拡張すること。
• 平均値が負である符号変化重み関数 $ a(x) $ が、超線形非線形性にもかかわらず正の解の存在を可能にする役割を分析すること。
• 超線形の場合における非自明な正の解の存在のための必要十分条件を提供すること。
• 結果を中空領域における非線形PDEおよび非ハミルトニアン周期問題に応用すること。

提案手法

• ノイマンおよび周期的境界値問題の文脈において解の存在を分析するため、マーヴィンの一致度理論を用いる。
• 超線形非線形性 $ g(u) $ を取り扱うために、事前評価および位相的次数論的議論を用いる。ここで $ g(0) = 0 $、$ g(s) > 0 $（$ s > 0 $）であり、0 および $ +\infty $ で超線形成長を示す。
• スツルム比較定理および固有値推定を用いて、$ a(x) > 0 $ となる部分区間、特に $ a(x) $ が正である区間 $ J $ における解の挙動を制御する。
• 近似解の列 $ \tilde{u}_n $ を構成し、解の凹性および比較技術を用いて、正の固有関数 $ \varphi $ との積分により矛盾評価を導出する。
• 関数 $ h(x,s) $ にカラテオドリ条件を適用し、可積分性の仮定を用いて、極限議論において優越収束定理を適用する。
• 非負の量が正でなければならないという事実と、仮定のもとでその量が $ \leq 0 $ でなければならないという矛盾を示すことにより、解が有界でない場合の非存在を示し、事前評価の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイマンおよび周期的境界条件を有する超線形不等定境界値問題において、正の解が存在するための必要十分条件は何か？
• RQ2 特に平均値が負である場合に、$ a(x) $ の符号変化性が超線形ケースにおける正の解の存在に与える影響は何か？
• RQ3 マーヴィンの一致度法は、超線形不等定方程式のディリクレ問題からノイマンおよび周期的問題へと拡張可能か？
• RQ4 $ g(u) $ が 0 および $ +\infty $ で超線形成長を示すという性質が、不等定重みがある中で正の解を可能にする役割は何か？
• RQ5 位相的アプローチは、ノイマン／周期的問題において第一固有値 $ \lambda_0 > 0 $ が存在しないという点をどのように扱えるか？

主な発見

• 本稿は、$ g(u) $ に超線形成長条件が課されても、$ a(x) $ が符号変化する場合でも、ノイマンおよび周期的境界値問題に対して少なくとも1つの正の解が存在することを証明する。
• 存在のための必要条件として、$ \int_0^T a(x)\,dx < 0 $ が得られる。これは部分積分と $ g'(s) $ の正の性質から生じ、重みが非負であってはならないことを保証する。
• 著者らは、ノイマン／周期的ケースにおける第一固有値 $ \lambda_0 $ が 0 に等しいことを確立する。これはディリクレ問題で用いられる古典的手法を無効にし、新たな手法の必要性を示す。
• 解の列 $ \tilde{u}_n $ を構成し、正の固有関数 $ \varphi $ を用いたスツルム比較により、解が無限大に発散する場合に矛盾を導く。これにより、事前評価の存在が証明される。
• 矛盾は、下界が $ \varepsilon N \int_J q_N(x)\varphi(x)\,dx > 0 $ である量が $ \leq 0 $ でなければならないと示すことから生じる。これは不可能である。
• この手法はノイマンおよび周期的問題の両方へ適用可能である。境界条件は、核心的な矛盾議論に影響を及ぼさず、解の非負性および凹性に依存するためである。