[論文レビュー] Existence of primitive polynomials with three coefficients prescribed

Donald Mills|ArXiv.org|May 27, 2003

Coding theory and cryptography参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、有限体の特性が5以上である場合に、3つの指定された係数をもつ原始的多項式の存在を示している。これは、既約多項式のk番目の係数についての再帰的公式を用いて行われる。主な結果は、すべてのn ≥ 9およびF_q³内の任意の三つ組(f₁, f₂, f₃)に対して、このような原始的多項式が存在することである。n = 7およびn = 8の場合には、スイーブングと計算的検証により部分的な結果が得られている。

ABSTRACT

We demonstrate, using character sum arguments, the existence of primitive polynomials of degree n over a finite field GF(q) with the coefficients for x^(n-1), x^(n-2), and x^(n-3) prescribed, so long as char(GF(q)) is at least 5 and n is at least 9. The cases n=7, 8 are also considered.

研究の動機と目的

• F_q 上のn次原始的多項式が、指定された3つの係数f₁, f₂, f₃をもつかどうかを特定すること。
• 1つまたは2つの係数が指定された原始的多項式に関する先行研究を、3つの係数が指定された場合に拡張すること。
• 有限体上の既約多項式のk番目の係数について、一般の再帰的公式を構築すること。
• n ≥ 9 に対して存在を解決し、n = 7およびn = 8 に対してスイーブングと計算的手法を用いて進展を図ること。
• スイーブングとコンピュータ検証を用いて、小さなqおよびnに対する潜在的例外を特定し、除外すること。

提案手法

• トレース関数と有限体上の累乗和を用いて、F_q 上の既約多項式のk番目の係数f_kについての再帰的公式を導出する。
• αW_{k,n}(α) のトレースを表すために、多項式W_{k,n}(x)を導入し、p ∤ k のとき、これは既約多項式でk·f_kに等しくなる。
• q^n - 1 の素因数の個数に基づくスイーブング技術を適用し、指定された係数をもつ原始的多項式の個数を推定する。
• 補完的除数法とトレース和の大きさの上限を用いて、このような多項式の個数が正であることを示す。
• 小さなqおよびnに対して計算的検証を実施し、スイーブングではカバーされない潜在的例外を除外する。
• この公式が原始的多項式に限らず、一般の既約多項式に対しても適用可能であるという事実を活用し、より広範な適用可能性を高めている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特性が5以上の有限体F_qおよびn ≥ 9に対して、F_q内の3つの指定された係数f₁, f₂, f₃ ∈ F_q をもつ原始的多項式が存在する条件は何か？
• RQ2 n = 7およびn = 8 に対して、3つの係数が指定された原始的多項式の存在を保証できるか。もし可能であれば、どのような条件下で成立するか？
• RQ3 スイーブング手法を用いて、このような多項式の存在を保証するために必要なq^n - 1の最小素因数個数は何か？
• RQ4 k番目の係数についての再帰的公式を、既約多項式の根を含む積のトレースを分析するのにもどう応用できるか？
• RQ5 どの小さなqおよびnの値が、このような多項式の存在に関する潜在的例外を示唆するか。それらは計算またはスイーブングによって除外可能か？

主な発見

• すべての特性が5以上の有限体およびすべてのn ≥ 9に対して、F_q³内の任意の三つ組(f₁, f₂, f₃)に対して、その係数をもつn次原始的多項式が存在する。
• n = 7および(a,b,c) ≠ (0,0,0)の場合、ω(q⁷ - 1) ≥ 21 であれば、そのような原始的多項式の個数は正であり、スイーブングと計算により15個の可能性のある例外が残る。
• n = 7および(a,b,c) = (0,0,0)の場合、ω(q⁷ - 1) ≥ 100 であれば、そのような原始的多項式の個数は正であり、スイーブング後に9個の可能性のある例外が残る。
• 補完的除数法とd = 1またはd = 30を用いたスイーブング法により、解の個数に関する境界が改善され、潜在的例外の数が減少した。
• n = 7および(a,b,c) ≠ (0,0,0)の場合、95個の可能性のある例外は、コンピュータ検証で38個の素数≤179を除外し、d = 2を用いたスイーブングで42個を除外することで15個にまで削減された。
• 著者は、残りの非素数q値（例：25, 49, 121, 169, 191, 197, 199, 239, 269）は本質的な例外ではないと推測しているが、完全な解決は、より大きな計算能力を要する今後の作業に任せられている。