[論文レビュー] Existence of quotients by finite groups and coarse moduli spaces

David Rydh|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、有限の自己同型を持つ代数的スタックに対して、粗いモジュライ空間の存在を確立し、準有限対角を持つスタックに対して局所的に準有限な平坦被覆の存在を示している。ノエター的仮定に依存しない一般の代数的幾何学的技法を用いており、KeelとMoriの結果を有限群による商の枠組みから任意の代数的スタックおよびスタックの自己同型が有限であるような空間へと大幅に一般化している。

ABSTRACT

Abstract. In this paper we prove the existence of several quotients in a very general setting. We consider finite group actions and more generally groupoid actions with finite stabilizers generalizing the results of Keel and Mori. In particular we show that any algebraic stack with finite inertia stack has a coarse moduli space. We also show that any algebraic stack with quasi-finite diagonal has a locally quasi-finite flat cover. The proofs do not use noetherian methods and are valid for general algebraic spaces and algebraic stacks.

研究の動機と目的

• 有限群作用による商の存在を、より広いクラスの代数的スタックおよび代数的空間へ一般化すること。
• 有限の自己同型を持つ代数的スタックに対して、粗いモジュライ空間の存在を確立すること。
• 準有限対角を持つ代数的スタックに対して、局所的に準有限な平坦被覆の存在を証明すること。
• KeelとMoriの結果をノエター的でない状況へ拡張し、一般の代数的空間およびスタックへ適用すること。
• ノエター的仮定に依存しない商構成の枠組みを構築すること。

提案手法

• 有限の自己同型を持つ群コホーズ作用を用いて、代数的空間上の有限群作用を一般化すること。
• ノエター的仮定を必要としない代数的幾何学的技法を適用すること。
• 自己同型スタックの構造を活用して、商の性質を導出すること。
• 有限の自己同型を持つスタックに対して、普遍性を用いて粗いモジュライ空間を構成すること。
• 準有限対角条件を用いて、局所的に準有限な平坦被覆の存在を証明すること。
• 代数的スタックおよび代数的空間の文脈において、降下および代表可能性の議論を用いること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような一般的な条件下で代数的スタックが粗いモジュライ空間をもつのか？
• RQ2 ノエター的でない場合に、有限群作用による商の存在を拡張できるか？
• RQ3 どのような条件下で代数的スタックに対して局所的に準有限な平坦被覆が存在するか？
• RQ4 有限の自己同型と準有限対角は、モジュライ空間の存在にどのように関係するか？
• RQ5 KeelとMoriの商に関する結果を、ノエター的でない状況へどの程度まで一般化できるか？

主な発見

• 任意の自己同型スタックが有限である代数的スタックは、粗いモジュライ空間をもつ。
• 任意の対角が準有限である代数的スタックは、局所的に準有限な平坦被覆をもつ。
• 結果はノエター的仮定を必要としない一般の代数的空間および代数的スタックに対して成り立つ。
• 商の構成は、古典的なKeelとMoriの結果をより広い幾何的状況へ一般化している。
• 用いられた手法は代数的幾何学に内在しており、有限性やノエター的条件に依存しない。
• スタックの自己同型の構造に最小限の仮定をおくだけで、粗いモジュライ空間の存在が保証される。