[論文レビュー] Existence of solution for a class of fractional Hamiltonian systems

César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 20被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、変分法を用いて、全実数直線上における分数階ハミルトニアン系の非自明な弱解の存在を確立する。新たなコンパクト埋込み結果を証明し、パライス・スメール条件を満たすことで、強制項と非線形項のサブクリティカル成長を保証する条件下で、マウンテン・パス定理を適用する。

ABSTRACT

In this work we want to prove the existence of solution for a class of fractional Hamiltonian systems given by {eqnarray*}_{t}D_{\infty}^α(_{-\infty}D_{t}^αu(t)) + L(t)u(t) = & abla W(t,u(t)) u\in H^α(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{N}) {eqnarray*}

研究の動機と目的

• 全実数直線上に定義された分数階ハミルトニアン系の非自明な弱解の存在を確立すること。
• 非有界領域におけるソボレフ埋込みのコンパクト性の欠如に対処するため、適切な分数階ソボレフ空間の枠組みを構築すること。
• 先行研究にインspiredされた新たなコンパクト埋込み結果を用いて、分数階設定におけるパライス・スメール条件を検証すること。
• ポテンシャルに関する一般の成長および強制項の条件の下で、分数階ソボレフ空間上に定義された関数汎関数にマウンテン・パス定理を適用すること。
• 周期的でも非自己同型でもない非線形項と強制的線形項を有する分数階ハミルトニアン系へ、変分法を拡張すること。

提案手法

• 滑らかで compact な台を持つ関数の閉包として定義される分数階ソボレフ空間 $ X^\beta = I_{-\frown}^{\beta}(\bR) $ を、ノルム $ \|u\|_{X^\alpha}^2 = \|u\|_{L^2}^2 + \|_\infty D_t^\alpha u\|_{L^2}^2 $ で定める。
• エネルギー汎関数 $ I(u) = \frac{1}{2}\|u\|_{X^\alpha}^2 - \int_\bR W(t,u(t))\,dt $ を導入し、その臨界点が系の弱解に対応することを示す。
• 有界なパライス・スメール系列の有界性と、コンパクト埋込みによる強収束を用いて、汎関数 $ I $ が (PS) 条件を満たすことを証明する。
• マウンテン・パスの幾何的性質を確立する：$ I(0) = 0 $、半径 $ \rho > 0 $ の球面上で $ I(u) > 0 $、および $ \|e\|_{X^\alpha} > \rho $ を満たすある $ e \in X^\alpha $ に対して $ I(e) < 0 $。
• 補題 2.2 のコンパクト埋込み結果を用いて、$ u_k \to u $ in $ L^2(\bR, \bR^n) $ を示し、非線形項の収束を可能にする。
• マウンテン・パス定理を適用して、正の臨界値 $ c > 0 $ の存在を結論づけ、したがって非自明な弱解の存在を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非周期的かつ非自己同型な係数を有する $ \mathbb{R} $ 上の分数階ハミルトニアン系が、非自明な弱解を有するための条件は何か？
• RQ2 ソボレフ埋込みのコンパクト性の欠如がある非有界領域においても、マウンテン・パス定理を分数階ハミルトニアン系に適用できるか？
• RQ3 分数階ソボレフ空間の文脈において、(PS) 条件を保証するためのコンパクト埋込み結果をどのように確立できるか？
• RQ4 ポテンシャル $ W $ および行列 $ L(t) $ に対して、非自明解の存在を保証するのに十分な成長および強制項の条件は何か？
• RQ5 対称的左・右微分を有する分数階系へ、古典的2階系における変分法を拡張することは可能か？

主な発見

• 仮定 (L)、(W₁)、(W₂) の下で、分数階ハミルトニアン系に付随する汎関数 $ I $ は (PS) 条件を満たし、パライス・スメール系列の列挙的コンパクト性を保証する。
• 新たなコンパクト埋込み結果が証明された：$ u_k \rightharpoonup u $ in $ X^\alpha $ ならば $ u_k \to u $ in $ L^2(\mathbb{R}, \mathbb{R}^n) $ である。これは非線形項の取り扱いに不可欠である。
• マウンテン・パスの幾何的性質が確認された：$ \rho > 0 $ および $ \beta > 0 $ が存在し、$ \|u\|_{X^\alpha} = \rho $ のとき $ I(u) \geq \beta > 0 $ であり、$ \|e\|_{X^\alpha} > \rho $ を満たすある $ e \in X^\alpha $ に対して $ I(e) < 0 $ である。
• マウンテン・パス定理を用いて、非自明な弱解の存在が確立され、臨界点 $ u \in X^\alpha $ が存在し、$ I(u) = c > 0 $、$ I'(u) = 0 $ を満たす。
• 条件 $ \alpha \in (1/2, 1) $ の下で、$ L(t) $ が正定値かつ強制的であり、$ W $ が $ \mu $-超二次的成長を示し、原点付近で小さくなる場合に、結果は成り立つ。
• マウンテン・パスレベル $ c $ が $ \beta > 0 $ で下から有界であることと、$ I(0) = 0 $ であることから、解は非自明である。