[論文レビュー] Existence of solutions for compressible fluid models of Korteweg type

Boris Haspot|ArXiv.org|Mar 13, 2008

Navier-Stokes equation solutions被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、表面張力と温度依存係数を含む非等温圧縮流体モデル（Korteweg型）に対して、解の存在と一意性を確立する。臨界スケーリング空間と高度な関数空間（Besov型）を用いて、平衡状態の近くの小規模な初期データに対してはグローバル存在を、一般の初期データに対しては局所的存在を示し、エネルギー推定と非等方的設定における擬微分型計算を用いて一意性および正則性の制御を実現する。

ABSTRACT

This work is devoted to the study of the initial boundary value problem for a general non isothermal model of capillary fluids derived by J.E Dunn and J.Serrin (1985), which can be used as a phase transition model. We distinguish two cases, when the physical coefficients depend only on the density, and the general case. In the first case we can work in critical scaling spaces, and we prove global existence of solution and uniqueness for data close to a stable equilibrium. For general data, existence and uniqueness is stated on a short time interval. In the general case with physical coefficients depending on density and on temperature, additional regularity is required to control the temperature in $L^{\infty}$ norm. We prove global existence of solution close to a stable equilibrium and local in time existence of solution with more general data. Uniqueness is also obtained.

研究の動機と目的

• DunnとSerrinの枠組みに基づいて導かれた一般の非等温キャピラリティ流体モデルの初期境界値問題を解析すること。
• 物理的係数が密度にのみ依存する場合と、密度および温度の両方に依存する場合の解の存在と一意性を扱うこと。
• 安定平衡状態の近くの小規模な初期データに対してグローバル存在を確立し、適切な正則性制御を伴う一般の初期データに対しても局所的存在を示すこと。
• 一般の場合に$ L^∞ $-ノルムにおける温度の制御を、追加の正則性仮定を用いて保証すること。

提案手法

• 自由エネルギーに勾配項$ \frac{1}{2}\kappa|\nabla\rho|^2 $を含む拡張された熱力学に基づくKortewegモデルの定式化。
• Kortewegテンソル、粘性応力、および間隙仕事も含む質量、運動量、エネルギー保存則の完全系の導出。
• 低正則性およびスケーリング不変性を扱うために、臨界スケーリング空間と非等方的Besov型関数空間$ \widetilde{L}^\rho_T(B^{s}_{p}) $の使用。
• 方程式内の非線形項を制御するための擬微分型計算と交換子推定の適用。
• エネルギー推定と関数空間内での不動点議論を用いた存在性および一意性の証明。
• 修正されたエネルギー汎関数の導入と、一般の場合における温度の$ L^\infty $-制御のための追加の正則性仮定の使用。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非等温Korteweg型圧縮流体モデルの初期境界値問題が、どのような条件下でグローバル解を有するか。
• RQ2 粘性係数、表面張力係数、熱伝導率といった物理的係数が密度および温度の両方に依存する場合、解の存在および正則性にどのような影響を与えるか。
• RQ3 臨界正則性空間において、安定平衡状態の近くの小規模な初期データに対してグローバル存在を確立できるか。
• RQ4 一般の場合に温度を$ L^\infty $-ノルムで制御するためには、どのような追加の正則性が必要か。
• RQ5 運動量方程式およびエネルギー方程式の非線形性が、非等方的関数空間における系の適切な定式化にどのように影響するか。

主な発見

• 物理的係数が密度にのみ依存する場合、臨界スケーリング空間において初期データが安定平衡状態に近いとき、解のグローバル存在と一意性が確立された。
• 同じ設定下で、一般の初期データに対しても、同様の関数空間枠組みにおいて局所的解の存在と一意性が証明された。
• 一般の場合（温度依存係数を含む）では、平衡状態の近くでグローバル存在が示され、温度の$ L^\infty $-ノルムの制御には追加の正則性が必要となった。
• 一般の初期データに対しても、同様に局所的解の存在が得られ、一意性および温度の$ L^\infty $-制御は、より高い正則性によって保証された。
• 証明は、非等方的Besov空間における鋭い推定と擬微分型計算に依拠しており、速度および密度勾配の$ \widetilde{L}^\rho_T(B^{s}_{p}) $-ノルムに依存するバインドが得られた。
• この枠組みにより、キャピラリティおよび非等温効果を有する圧縮流体の統一的取り扱いが可能となり、従来の結果をより一般的な物理的係数へと拡張した。