[論文レビュー] Existence of strong solutions for the compressible Ericksen-Leslie model

Xiangao Liu, Lanming Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、初期データに自然な正則性および適合性条件を課した場合、有界領域における可撓性エリクセン＝レジスモデルの局所的強い解の存在および一意性を確立する。さらに、ソボレフ空間における逐次近似スキームを用いて、初期データが小さい場合のグローバル存在を証明し、初期データの摂動に対する解の収束性および連続性についても示す。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence and uniqueness of local strong solutions of the hydrodynamics of nematic liquid crystals system under the initial data satisfying a natural compatibility condition. Also the global strong solutions of the system with small initial data are obtained.

研究の動機と目的

• 可撓性エリクセン＝レジス系の初期値および境界値条件を満たす局所的強い解の存在および一意性を確立すること。
• 適切なソボレフノルムにおける初期データの小さな仮定のもとで、強い解のグローバル存在を証明すること。
• 初期データのソボレフ空間における解の連続的依存性を示すこと。
• 流体・構造物相互作用モデルに含まれる速度、密度、配向場の連立系に、逐次近似法を拡張すること。

提案手法

• 速度場と配向場の間の結合項に対する鋭い推定を活用し、ソボレフ空間における逐次近似スキームを用いて解を構成する。
• 密度、速度、配向場のノルムを時間的に制御するために、エネルギー推定とグローバル型不等式に依存する。
• 主な推定では、配向場 $ d $ の $ H^2 $ ノルムと速度場 $ u $ の $ H^2 $ ノルムが互いに結びついており、反復的制御が可能になる。
• 強い解の正則性を保証するため、初期力場 $ g \to L^2 $ を含む適合性条件を課す。
• グローバル存在結果は、初期データが小さい場合にエネルギー推定が時間的に一様に有界になることから導出される。これにより爆発が防がれる。
• 時間区間が小さい場合に、指数関数的減衰推定とパrameterの小さな値を用いた収縮性の議論により、反復スキームの収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可撓性エリクセン＝レジス系は、どのような条件下で一意な局所的強い解をもつのか？
• RQ2 初期データがソボレフノルムで変化するとき、解はどのように連続的に依存するか？
• RQ3 $ W^{1,6} \times H^2 \times H^3 $ における初期データが小さい場合に、グローバルな強い解を構成できるか？
• RQ4 初期力場の適合性条件は、解の正則性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 反復スキームにおいて、流体力学的パラメータとネマチック秩序パラメータの結合をどのように制御できるか？

主な発見

• 正則性仮定 $ \rho_0 \in W^{1,6}, u_0 \in H^1_0 \cap H^2, d_0 \in H^3 $ および $ g \in L^2 $ を含む適合性条件のもとで、時間区間 $ (0, T^*) $ 内に一意な局所的強い解が存在する。
• 解は完全な正則性を満たす：$ \rho \in C([0,T^*]; W^{1,6}) $, $ u \in C([0,T^*]; H^1_0 \cap H^2) $, $ d \in C([0,T^*]; H^3) $, かつ $ \sqrt{\rho} u_t \in C([0,T^*]; L^2) $。
• 初期データに連続的依存：$ (\widetilde{\rho}_0, \widetilde{u}_0, \widetilde{d}_0) \to (\rho_0, u_0, d_0) $ が $ W^{1,6} \times H^2 \times H^3 $ 内で成り立つとき、差の関連ノルムはすべて 0 に収束する。
• 初期データが $ \|\rho_0 - \alpha\|_{W^{1,6}} + \|u_0\|_{H^2} + \|d_0 - m\|_{H^3} + \|g\|_{L^2}^2 \leq \theta $ を満たし、$ \theta \in (0, \theta_0] $ である場合、すべての時間においてグローバルな強い解が存在する。
• 反復スキームの収束は、収縮推定の因子が $ 1/2 $ 未満になるように $ \theta_0 $ と $ \eta $ を十分に小さく選ぶことで達成され、収束が保証される。
• 証明は、$ \|u\|_{H^2} $, $ \|d\|_{H^3} $, および $ \|\rho\|_{W^{1,6}} $ の微妙な相互作用に依存しており、推定により $ \|u\|_{H^2}^2 \lesssim \theta^{1/6} $, $ \|d\|_{H^3}^2 \lesssim \theta^{1/2} $, および $ \|\rho\|_{W^{1,6}} \lesssim \theta^{1/2} $ が得られる。