[論文レビュー] Existence of sweeping process in Banach spaces under directional prox-regularity

Frédéric Bernicot, Juliette Venel|ArXiv.org|Dec 26, 2008

Advanced Banach Space Theory参考文献 24被引用数 15

ひとこと要約

本稿は、分離可能で、弱収束に関して反射的かつ一様滑らかなバナッハ空間において、『方向的prox正則性』と呼ばれる新しい概念を導入することで、古典的なヒルバート空間構造に依存する結果を拡張し、スイーピング過程の存在を確立した。方向的prox正則性を導入し、バナッハ空間の幾何的性質を活用することで、移動する集合がすべての方向で一様prox正則でない場合でも、proximal法線錐を含む微分包含の絶対連続解の存在を証明した。

ABSTRACT

This paper is devoted to weaken "classical" assumptions and give new arguments to prove existence of sweeping process (associated to the proximal normal cone of sets). Mainly we define the concept of a "directional prox-regularity" and give assumptions about a Banach space to insure the existence of such sweeping process (which permit to generalize the existing results requiring a Hilbertian structure).

研究の動機と目的

• ヒルバート空間を超えるスイーピング過程の既存の存在結果を一般化すること。古典的な証明はヒルバート空間の構造に依存している。
• 標準的な一様prox正則性の仮定を緩和し、新たなより制限の少ない条件である『方向的prox正則性』を導入すること。
• 最小限の幾何的および正則性仮定の下で、バナッハ空間内でのproximal法線錐を含む微分包含の解の存在を確立すること。
• 非ヒルバート的状況におけるproximal法線錐の弱い滑らかさに対処するため、特化したコンパクト性および近似の議論を用いること。
• ボールコンパクト性や完全な一様prox正則性を回避する枠組みを提供し、より広範な適用可能性を実現すること。

提案手法

• 一様prox正則性の緩和として『方向的prox正則性』の概念を導入し、特定の方向における単値かつ連続な射影を保証する。
• 時間離散化を用いたモレオのキャッチアップアルゴリズムを用い、集合 $ C(t) $ がゆっくり変化する部分区間で近似解を構成する。
• 摂動および集合値写像 $ C(t) $ の線形成長およびリプシッツ連続性を用いて、離散解に対する一様な有界性を確立する。
• 反射的かつ一様滑らかなバナッハ空間における「I-滑らかく弱コンパクト」性質を活用し、コンパクト性の議論を適用して収束部分列を抽出する。
• ベルナール、ティバール、ツラテバによるprox正則集合の $ J $-下単調性性質を活用し、バナッハ空間内でのproximal法線錐の挙動を制御する。
• 離散解が、微分包含 $ \dot{u}(t) + \mathrm{N}(C(t), u(t)) \ni f(u(t)) $ を満たす絶対連続解に収束することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルバート空間構造を仮定せずに、バナッハ空間内でのスイーピング過程の存在を確立できるか？
• RQ2 バナッハ空間内での移動集合 $ C(t) $ に対して、一様prox正則性を置き換える幾何的条件は何か？
• RQ3 非ヒルバート的状況での存在結果を一般化するために、方向的prox正則性をどのように定義し、利用できるか？
• RQ4 離散近似の収束を保証するために、バナッハ空間に必要なコンパクト性および滑らかさの性質は何か？
• RQ5 グローヴァルの補題のようなヒルバート空間特有の道具に依存せずに、バナッハ空間内での解の一意性を確立できるか？

主な発見

• 本稿は、完全な一様prox正則性の必要性を排除するための十分条件として『方向的prox正則性』を導入した。
• 分離可能で、弱収束に関して反射的かつ一様滑らかなバナッハ空間において、方向的prox正則性および $ C(t) $ のリプシッツ連続性の下で、スイーピング過程 $ \dot{u}(t) + \mathrm{N}(C(t), u(t)) \ni f(u(t)) $ の絶対連続解の存在が証明された。
• 線形成長および $ f $ の連続性仮定の下で、すべての $ t \in I $ に対して $ u(t) \in C(t) $ が成り立ち、初期条件 $ u(0) = u_0 \in C(0) $ を満たす。
• 証明は、時間離散化によるモレオのキャッチアップアルゴリズムと、「I-滑らかく弱コンパクト」性質を持つ空間におけるコンパクト性の議論に依存し、離散解の収束を保証する。
• 一様prox正則性を全方向に要求する必要性を排除することで、より柔軟な集合の進化を許容する点で、ヒルバート空間内での既存の存在定理を一般化した。
• グローヴァルの補題や双対写像の非線形性といったヒルバート空間特有の道具が欠如しているため、一般バナッハ空間内では一意性は未解決の問題のままである。