[論文レビュー] Existence of the Fomin derivative of the invariant measure of a stochastic reaction--diffusion equation

Giuseppe Da Prato, Arnaud Debussche|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、非白色ノイズを伴う確率的反応拡散方程式に対して、遷移半群 $P_t D\varphi$ の新しい推定式を用いて、不変測度のフォミン微分の存在を確立する。主な貢献は、$A^{-1}h$ 方向における不変測度のフォミン微分可能性の証明であり、無限次元SDEにおけるマルリヤン計算に不可欠な部分積分公式の実現を可能にする。

ABSTRACT

We consider a reaction--diffusion equation perturbed by noise (not necessarily white). We prove existence of the Fomin derivative of the corresponding transition semigroup $P_t$. The main tool is a new estimate for $P_tDφ$ in terms of $\|φ\|_{L^2(H,ν)}$, where $ν$ is the invariant measure of $P_t$.

研究の動機と目的

• 乗法的ノイズを伴う確率的反応拡散方程式の不変測度のフォミン微分の存在を確立すること。
• 無限次元SDEにおける勾配でない、非白色ノイズの設定にまで、部分積分およびマルリヤン計算の理論を拡張すること。
• ノイズが白色でなく、系が勾配でない場合の不変測度の正則性に対する厳密な基礎を提供すること。
• 従来の不変測度密度に関する結果を一般化し、ノイズおよび非線形性に関するより弱い仮定の下でフォミン微分可能性を証明すること。
• ノイズが色ありで、ドリフトが多項式である場合に、不変測度の構造に関する理解のギャップを埋めること。

提案手法

• 不変測度 $\nu$ を用いて、$P_t D\varphi$ の新しい推定式を $\|\varphi\|_{L^2(H,\nu)}$ の項で得る。これが中心的な技術的道具である。
• 近似半群 $P_t^\alpha$ に対して、ビスマルク＝エルウォルティ＝リ公式を用い、$P_t^\alpha\varphi$ の微分をマルリヤン微分を含む確率積分の形で表現する。
• 非線形ドリフト $p$ のヨシダ近似 $p_\alpha$ を用いて、近似SDEのリプシッツ連続性および解の存在を保証する。
• 一様なモーメントバウンドを用いて、近似不変測度 $\nu_\alpha$ が弱収束により真の不変測度 $\nu$ に収束することを証明する。
• 作用素 $(-A)^{-1}D$ の随伴が有界ベクトル場を $L^2(H,\nu)$ に写すことを示し、部分積分を可能にする。これによりフォミン微分の存在を確立する。
• ノイズ作用素 $B = (-A)^{-\gamma/2}$ に対して $\frac{n}{2}-1 < \gamma < 1$ の条件を用い、空間的正則性および強いフェラー性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非白色ノイズを伴う確率的反応拡散方程式の不変測度は、$h \in H$ に対して $A^{-1}h$ 方向にフォミン微分をもつか？
• RQ2 ノイズが白色ではなく、系が勾配でない場合に、フォミン微分を確立できるか。これはガウス測度に基づく従来の結果の拡張である。
• RQ3 $P_t D\varphi$ に対するどのような推定式があれば、不変測度のフォミン微分の存在を保証できるか？
• RQ4 近似測度 $\nu_\alpha$ が $\nu$ に収束することは、フォミン微分の存在をどのように支援するか？
• RQ5 ノイズおよびドリフトにどのような条件下で、不変測度に対する部分積分公式が成立するか？

主な発見

• すべての $h \in H$ に対して、不変測度 $\nu$ は $A^{-1}h$ 方向にフォミン微分可能であり、これは $\nu$ に対する部分積分公式の存在を意味する。
• フォミン微分性の証明の中心的技術的道具として、新しい推定式 $\|P_t D\varphi\|_{L^2(H,\nu)} \leq C \|\varphi\|_{L^2(H,\nu)}$ が得られた。
• $B$ が単位作用素でなく、$p$ が勾配でもない場合でも、不変測度 $\nu$ がフォミン微分可能であることが示された。これはガウスケースからの結果の拡張である。
• $\nu_\alpha$ が弱収束により $\nu$ に収束することが確立され、$\mathbb{E}|X_\alpha(t,x)|$ の一様なバウンドによりモーメントの安定性が保証された。
• $\frac{n}{2}-1 < \gamma < 1$ の条件下で結果が成り立ち、確率的畳み込みが適切に定義され、ビスマルク＝エルウォルティ＝リ公式が適用可能であることが保証された。
• 部分積分公式 $\int_H \langle (-A)^{-1}D\varphi(x), h \rangle \, \nu(dx) = \int_H \varphi(x) v^h(x) \, \nu(dx)$ が証明され、$v^h \in L^2(H,\nu)$ であることが確認された。これによりフォミン微分性が裏付けられた。