[論文レビュー] Existence of tracial states on reduced group C*-algebras

Brian Forrest, Nico Spronk+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクト群の縮小群 C*-代数におけるトレース状態の存在について、必要十分条件を確立する。特に、コンパクト生成群、特にほとんど連結または核型群の場合、トレース状態の存在は群のアメニタリティと同値であることが示され、作用素代数における重要な問題を解決し、アメニタリティトレースとテンソル積双対性を用いた新規な証明により、Ngの結果を拡張する。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group. It is not always the case that its reduced C*-algebra $C^*_r(G)$ admits a tracial state. We exhibit closely related necessary and sufficient conditions for the existence of such. We gain a complete answer when $G$ compactly generated. In particular for $G$ almost connected, or more generally when $C^*_r(G)$ is nuclear, the existence of a trace is equivalent to amenability. We exhibit two examples of classes of totally disconnected groups for which $C^*_r(G)$ does not admit a tracial state.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群 $G$ の縮小 C*-代数 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ におけるトレース状態の存在について、必要十分条件を特定すること。
• 特にコンパクト生成およびほとんど連結群の場合に、$\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ がトレース状態をもつのはいつかという質問 1.1 を解決すること。
• 核型 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ の場合、トレース状態の存在が $G$ のアメニタリティと同値であることを示し、Ng の結果を新しい証明により拡張すること。
• トレース状態をもたないような完全不連結群の例を構成し、群構造がトレース状態の存在に与える役割を強調すること。

提案手法

• 縮小フーリエ＝スティルチェス代数 $\mathrm{B}_{r}(G)$ と $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)^{*}$ の双対性を用い、共役に関して不変な正定値関数としてトレース状態を同定する。
• 写像 $a \otimes b^{\mathrm{op}} \mapsto \tau(ab)$ の拡張を通じて、アメニタリティトレースの概念を最小テンソル積 $\mathcal{A} \otimes_{\min} \mathcal{A}^{\mathrm{op}}$ に応用する。
• GNS 構成と $\mathcal{A}_{1}/\mathcal{N}$ のヒルベルト空間完備化を用い、トレースを表現空間上のベクトル状態として実現する。
• 関数 $f \mapsto \tilde{f}$ による反同型写像を通じて、$\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ の対称性を活用し、$\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ をその反対代数と関連付ける。
• 制限定理とフェルの誘導の連続性を用い、$N$ がアメニタリティをもつとき、$\mathrm{A}(G/N)$ を $\mathrm{B}_{r}(G)$ に埋め込む。
• $D \cong G$ に対して $1 \in \mathrm{B}_{r}(D)$ が成り立つと、$\mathrm{C}^{*}_{r}(G \times G)$ 上の状態の存在から $G$ がアメニタリティをもつことが導かれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクト群 $G$ の縮小 C*-代数 $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ がトレース状態をもつのはいつか？
• RQ2 $G$ がコンパクト生成または核型であるとき、$\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ にトレース状態が存在することは、$G$ のアメニタリティと同値か？
• RQ3 トレース状態をもたない完全不連結群のクラスをどのように特徴づけられるか？
• RQ4 アメニタリティトレースの存在は、$\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ および群 $G$ の構造にどのように関係するか？
• RQ5 縮小フーリエ＝スティルチェス代数 $\mathrm{B}_{r}(G)$ は、トレース状態を検出するために果たす役割は何か？

主な発見

• コンパクト生成群では、$\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ にトレース状態が存在することは、$G$ のアメニタリティと同値である。
• ほとんど連結群、または $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ が核型である場合、$\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ にトレース状態が存在することは、$G$ のアメニタリティと同値であり、核型の場合の予想を確認する。
• 本稿は、Ng の結果の新しい証明を提供する：局所コンパクト群 $G$ は、アメニタリティであることと、$\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ が核型かつトレース状態をもつことと同値である。
• 本稿は、トレース状態をもたない完全不連結群の2つのクラスを構成し、$n \geq 2$ の場合 $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Q}_p)$ が含まれる。これは型 I であり核型だが非アメニタリティである。
• $\mathrm{C}^{*}_{r}(G)$ にアメニタリティトレース状態が存在するならば、$G$ はアメニタリティをもたなければならないことが示され、$\mathrm{B}_{r}(G \times G)|_D$ に $1$ が埋め込まれることを経由する。
• この結果は、$\mathbb{Q}_p$ 上の代数的線形群、例えば $\mathrm{SL}_n(\mathbb{Q}_p)$ にまで拡張可能であり、これらはコンパクト生成かつ核型だが非アメニタリティであるため、トレース状態をもたない。