[論文レビュー] Existence Problem of Telescopers: Beyond the Bivariate Case

Shaoshi Chen, Qing-Hu Hou+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2016

Polynomial and algebraic computation参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、最近解決された2変数有理関数の和分可能性問題に帰着させることで、3変数離散関数におけるテレスコペラの存在問題を解消した。著者らは一般化された還元アルゴリズムとシフト同値性テストを用いて、テレスコペラ存在の必要十分条件を確立し、従来の2変数結果を3変数へ拡張した。重要な例として、非正規有理関数であってもテレスコペラを有する可能性があることを示した。

ABSTRACT

In this paper, we solve the existence problem of telescopers for rational functions in three discrete variables. We reduce the problem to that of deciding the summability of bivariate rational functions, which has been solved recently. The existence criteria we present is needed for detecting the termination of Zeilberger's algorithm to the function classes studied in this paper.

研究の動機と目的

• 3変数離散関数におけるテレスコペラの存在を特定する長年の未解決問題に取り組む。
• 従来の2変数ケースに限られていた存在基準を、正規関数やホロノミック関数の範囲を超えて拡張する。
• 3変数有理関数設定におけるテレスコペラ存在の必要十分条件を提供する。
• この関数クラスにおけるZeilbergerのアルゴリズムの停止性を検出可能にする。
• 一般多変数関数クラス（ハイパージオメトリック項を含む）における存在問題の解法基盤を築く。

提案手法

• 一般化された還元アルゴリズムを用いて、3変数テレスコペラ存在問題を2変数有理関数の和分可能性のテストに還元する。
• 特定のシフトに対して不変であることを同定するため、シフト同値性テスト手順を適用する。これは部分分数分解における分母の取り扱いに不可欠である。
• 変数 $ y $ における既約部分分数分解を用い、$ ( au_y, au_z) $-和分可能性の下で分析可能な成分を分離する。
• $ au_y $-および$ au_z $-和分可能成分の構造を活用し、演算子分解を用いてテレスコペラの存在を決定する。
• 既知の2変数有理関数和分可能性アルゴリズム（[21]より）を、全体の意思決定手順におけるサブルーチンとして利用する。
• 標準的基準が失敗する場合を含む、3変数における非正規有理関数を扱う、画期的な還元フレームワークを導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非正規またはホロノミックでない関数であっても、3変数離散関数におけるテレスコペラが存在する条件は何か？
• RQ2 3変数の場合に、テレスコペラ存在問題が2変数有理関数の和分可能性に還元可能か？
• RQ3 複数のシフト作用素の下で多項式のシフト同値性をアルゴリズム的にテストする方法は何か？ これは存在基準の支援に不可欠である。
• RQ4 3変数有理関数が正規項に分解不能であっても、テレスコペラを許容する構造的性質は何か？
• RQ5 2変数を超える一般化されたアルゴリズム的枠組みは、テレスコペラ存在の検出に利用可能か？

主な発見

• 3変数有理関数におけるテレスコペラの存在は、導出された2変数有理関数の $ ( au_y, au_z) $-和分可能性と同値である。
• 本稿は、3変数有理関数におけるテレスコペラ存在の必要十分条件を提供し、従来の2変数結果を一般化した。
• 重要な例として、$ f = 1/(x+y+z^2) $ は正規でないが、依然としてテレスコペラを有することを示した。これは2変数の場合には見られない現象である。
• 還元プロセスは一般化された部分分数分解とシフト同値性テストに依存しており、後者は[17, 19, 20]の既知のアルゴリズムにより解ける。
• 本手法により、3変数有理関数におけるZeilbergerのアルゴリズムの停止性がアルゴリズム的に検出可能となった。
• このクラスにおける存在問題は今や決定可能であり、最近解決された2変数和分可能性問題に依拠している。