[論文レビュー] Existence Results for the Continuous and Discontinuous Galerkin Time Stepping Methods for Nonlinear Initial Value Problems

Bärbel Holm, Thomas P. Wihler|arXiv (Cornell University)|Jul 21, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、ヒルバート空間における非線形初期値問題の連続的および不連続的ガラーキン時間離散化について、非線形項に連続性仮定のみを課した一般の存在および一意性結果を確立する。主な貢献は、多項式近似次数に依存せずに離散解が存在することを示したことであり、これは局所時間刻みが十分に小さいことに依存する。

ABSTRACT

We consider continuous and discontinuous Galerkin time stepping methods of arbitrary order as applied to nonlinear initial value problems in real Hilbert spaces. Our only assumption is that the nonlinearities are continuous; in particular, we include the case of unbounded nonlinear operators. Specifically, we develop new techniques to prove general Peano-type existence results for discrete solutions. In particular, our results show that the existence of solutions is independent of the local approximation order, and only requires the local time steps to be sufficiently small (independent of the polynomial degree). The uniqueness of (local) solutions is addressed as well. In addition, our theory is applied to finite time blow-up problems with nonlinearities of algebraic growth. For such problems we develop an adaptive time step algorithm for the purpose of numerically computing the blow-up time, and provide a convergence result.

研究の動機と目的

• 非線形初期値問題の高次連続および不連続ガラーキン時間離散化における解の存在および一意性を確立すること。
• 非線形作用素にリプシッツ連続性や有界性の仮定を課さない状況下で、解の存在が時間刻みサイズおよび多項式次数にどのように依存するかを分析すること。
• 代数的成長を示す非線形性を有する問題における爆発時刻の計算のための適応的時間刻み戦略を開発すること。
• 有限時間爆発問題に適用した適応的アルゴリズムに対する収束保証を提供すること。

提案手法

• 実ヒルバート空間における離散ガラーキン解のペアノ型存在結果を証明するための新しい解析的手法を適用する。
• 非線形項の連続性のみを構造的仮定として用い、有界でない作用素を許容する。
• 安定性や正則性の制約を回避するため、多項式次数に依存せずに、局所時間刻みが十分に小さいことによって解の存在を確立する。
• 局所誤差制御に基づく適応的時間刻み戦略を構築し、爆発時刻の近似を図る。
• 非線形発展方程式のガラーキン枠組みに特化したエネルギー推定と不動点議論を用いる。
• 代数的非線形性を有する爆発問題の文脈において、適応的アルゴリズムの収束結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的および不連続的ガラーキン時間離散化が、単に連続的非線形性を有する非線形初期値問題に対して離散解を許容する条件は何か？
• RQ2 離散解の存在が近似空間の多項式次数に依存するか？
• RQ3 代数的成長を示す非線形性を有する非線形発展問題における爆発時刻の計算のために、適応的時間刻みを厳密に正当化できるか？
• RQ4 多項式近似次数に依存しない形で、局所時間刻みの大きさが解の存在にどのように影響するか？
• RQ5 爆発問題に適応的時間刻みアルゴリズムを適用した場合に、どのような収束保証を確立できるか？

主な発見

• 局所時間刻みが十分に小さい限り、連続的および不連続的ガラーキン法において離散解が多項式次数に依存せずに存在する。
• 解の存在は局所近似次数に依存せず、時間刻みサイズにのみ依存する。
• 非線形項の連続性仮定のもとで、局所解の一意性が確立される。
• 代数的成長非線形性を有する問題における爆発時刻の計算のための適応的時間刻みアルゴリズムが開発された。
• 与えられた仮定の下で、適応的アルゴリズムが真の爆発時刻に収束することが証明された。
• 非線形作用素が連続的であれば、有界性を仮定しなくても理論は非有界作用素へと拡張可能であり、古典的リプシッツ設定を越える。